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正确率60.0%已知正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的棱长为$$3， ~ E， ~ F$$分别在$$D B， ~ A B_{1}$$上，且$$\overrightarrow{B E}=2 \overrightarrow{E D}， \; \; \overrightarrow{A F}=2 \overrightarrow{F B_{1}}，$$则$$| \overrightarrow{E F} |=$$（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{4}}$$
2、['空间直角坐标系中两点之间的距离公式']正确率80.0%设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点$${{O}{，}}$$球面上的两个点$${{A}{，}{B}}$$的坐标分别为$$( 1， ~ 2， ~ 2 )， ~ ( 2， ~-2， ~ 1 )，$$则$$| \overrightarrow{A B} |=$$（）
D
A.$${{1}{8}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
3、['空间直角坐标系'， '空间直角坐标系中两点之间的距离公式']正确率60.0%已知$$A ~ ( ~-4， ~ 2， ~ 3 )$$关于$${{x}{O}{z}}$$平面的对称点为$${{A}_{1}{，}{A}}$$关于$${{z}}$$轴的对称点为$${{A}_{2}}$$，则$${{|}{{A}_{1}}{{A}_{2}}{|}}$$等于（）
A
A.$${{8}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{1}{9}}$$
4、['空间直角坐标系中两点之间的距离公式'， '立体几何中的轨迹问题']正确率40.0%已知直棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，$${{A}{{A}_{1}}{⊥}}$$底面$$A B C， \， \， \， A B \perp A C， \， \， \， A B=A C$$，点$${{P}}$$是侧面$${{A}{B}{{B}_{1}}{{A}_{1}}}$$内的动点，点$${{P}}$$到棱$${{A}{C}}$$的距离等于到平面$${{B}{C}{{C}_{1}}{{B}_{1}}}$$的距离，则动点$${{P}}$$的轨迹是（）
B
A.抛物线的一部分
B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分
D.直线的一部分
5、['空间直角坐标系中两点之间的距离公式']正确率80.0%已知点$$A ~ ( \mathrm{\Theta~ ( ~ 2， ~ 3， ~ 5 )}$$与点$$B ~ ( \mathrm{\bf~ 3}， \mathrm{\bf~ 1}， \mathrm{\bf~ 4} )$$，则$$| A B |=$$（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${\sqrt {6}}$$
6、['空间直角坐标系中两点之间的距离公式'， '与球有关的切、接问题'， '球的表面积']正确率40.0%已知三棱锥$$P \!-\! A B C$$中，侧面$${{P}{A}{C}{⊥}}$$底面$$A B C， \， \， \angle B A C=9 0， \， \， \， A B=A C=4， \， \， \， P A=\sqrt{1 0}， \， \， \， P C=\sqrt{2}$$，则三棱锥$$P \!-\! A B C$$外接球的表面积为（）
D
A.$${{2}{4}{π}}$$
B.$${{2}{8}{π}}$$
C.$${{3}{2}{π}}$$
D.$${{3}{6}{π}}$$
7、['与球有关的切、接问题'， '空间直角坐标系中两点之间的距离公式'， '球的表面积']正确率60.0%空间直角坐标系$$O-x y z$$中，点$$M (-1， 1， 2 )$$在$$x O y， ~ x O z， ~ y O z$$平面上的射影分别为$$A， ~ B， ~ C$$，则三棱锥$$M-A B C$$的外接球的表面积为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{4}{π}}$$
B.$${{5}{π}}$$
C.$${{6}{π}}$$
D.$${{7}{π}}$$
8、['空间直角坐标系'， '空间直角坐标系中两点之间的距离公式']正确率60.0%已知点$$A ( x， 0， 2 )$$和点$$B ( 2， 3， 4 )$$，且$$| A B |=\sqrt{2 2}，$$则实数$${{x}}$$的值是（）
A
A.$${{5}}$$或$${{−}{1}}$$
B.$${{5}}$$或$${{1}}$$
C.$${{2}}$$或$${{−}{6}}$$
D.$${{−}{2}}$$或$${{6}}$$
9、['空间直角坐标系中两点之间的距离公式']正确率60.0%已知点$$M ( 2，-3， 1 )$$关于原点的对称点为$${{N}{，}}$$则$${{|}{M}{N}{|}}$$等于（）
B
A.$${{2}{\sqrt {{1}{3}}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {{1}{4}}}}$$
C.$${{5}{2}}$$
D.$${{5}{6}}$$
10、['空间直角坐标系中两点之间的距离公式']正确率60.0%给定空间直角坐标系，若在$${{x}}$$轴上找一点$${{P}}$$，使它与$$P_{0} ( 4， 1， 2 )$$的距离为$${\sqrt {{3}{0}}}$$，则点$${{P}}$$的坐标为 （）
C
A.$$( 9， 0， 0 )$$
B.$$(-1， 0， 0 )$$
C.$$( 9， 0， 0 )$$或$$(-1， 0， 0 )$$
D.以上答案都不对
1. 已知正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$棱长为$$3$$，$$E, F$$分别在$$DB, AB_1$$上，且$$\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{ED}$$，$$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB_1}$$，求$$|\overrightarrow{EF}|$$。
建立坐标系：设$$A(0,0,0)$$，$$B(3,0,0)$$，$$C(3,3,0)$$，$$D(0,3,0)$$，$$A_1(0,0,3)$$，$$B_1(3,0,3)$$，$$C_1(3,3,3)$$，$$D_1(0,3,3)$$。
计算点坐标：
$$E$$在$$DB$$上，$$\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{ED}$$，即$$E$$分$$DB$$为$$2:1$$，$$D(0,3,0)$$，$$B(3,0,0)$$，$$E=\left(\frac{2 \times 3 + 1 \times 0}{3}, \frac{2 \times 0 + 1 \times 3}{3}, 0\right)=(2,1,0)$$。
$$F$$在$$AB_1$$上，$$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB_1}$$，即$$F$$分$$AB_1$$为$$2:1$$，$$A(0,0,0)$$，$$B_1(3,0,3)$$，$$F=\left(\frac{2 \times 3 + 1 \times 0}{3}, 0, \frac{2 \times 3 + 1 \times 0}{3}\right)=(2,0,2)$$。
向量$$\overrightarrow{EF}=F-E=(0,-1,2)$$，模长$$|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{0^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{5}$$，但选项无此值，重新检查。
正确分点：$$\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{ED}$$，即$$E$$靠近$$D$$，参数$$t=\frac{BE}{BD}=\frac{2}{3}$$，从$$B$$到$$D$$：$$E=B+\frac{2}{3}(D-B)=(3,0,0)+\frac{2}{3}(-3,3,0)=(1,2,0)$$。
$$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB_1}$$，即$$F$$靠近$$B_1$$，参数$$t=\frac{AF}{AB_1}=\frac{2}{3}$$，从$$A$$到$$B_1$$：$$F=A+\frac{2}{3}(B_1-A)=(0,0,0)+\frac{2}{3}(3,0,3)=(2,0,2)$$。
$$\overrightarrow{EF}=F-E=(1,-2,2)$$，模长$$|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{9}=3$$。
答案：A.$$3$$
2. 点$$A(1,2,2)$$，$$B(2,-2,1)$$，求$$|\overrightarrow{AB}|$$。
$$\overrightarrow{AB}=B-A=(1,-4,-1)$$，模长$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+(-4)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+16+1}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$。
答案：D.$$3\sqrt{2}$$
3. 点$$A(-4,2,3)$$，关于$$xOz$$平面对称点$$A_1$$，关于$$z$$轴对称点$$A_2$$，求$$|A_1A_2|$$。
$$xOz$$平面对称：$$y$$坐标变号，$$A_1(-4,-2,3)$$。
$$z$$轴对称：$$x,y$$坐标变号，$$A_2(4,-2,3)$$。
$$\overrightarrow{A_1A_2}=A_2-A_1=(8,0,0)$$，模长$$|A_1A_2|=8$$。
答案：A.$$8$$
4. 直棱柱$$ABC-A_1B_1C_1$$，$$AA_1 \perp$$底面$$ABC$$，$$AB \perp AC$$，$$AB=AC$$，点$$P$$在侧面$$ABB_1A_1$$内，点$$P$$到棱$$AC$$的距离等于到平面$$BCC_1B_1$$的距离，求动点$$P$$轨迹。
建立坐标系：设$$A(0,0,0)$$，$$B(a,0,0)$$，$$C(0,a,0)$$，$$A_1(0,0,h)$$，则$$B_1(a,0,h)$$，$$C_1(0,a,h)$$。
侧面$$ABB_1A_1$$在$$x-z$$平面，点$$P(x,0,z)$$，$$0 \leq x \leq a$$，$$0 \leq z \leq h$$。
到棱$$AC$$的距离：$$AC$$沿$$y$$轴从$$(0,0,0)$$到$$(0,a,0)$$，点$$P(x,0,z)$$到$$AC$$距离为$$x$$（水平距离）。
到平面$$BCC_1B_1$$的距离：该平面$$x=a$$，距离为$$|a-x|$$。
由条件：$$x=|a-x|$$，即$$x=a-x$$或$$x=-(a-x)$$，解得$$x=\frac{a}{2}$$（在$$0 \leq x \leq a$$内）。
轨迹为直线$$x=\frac{a}{2}$$（在侧面内的一段线段）。
答案：D.直线的一部分
5. 点$$A(2,3,5)$$，$$B(3,1,4)$$，求$$|AB|$$。
$$\overrightarrow{AB}=B-A=(1,-2,-1)$$，模长$$|AB|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$$。
答案：D.$$\sqrt{6}$$
6. 三棱锥$$P-ABC$$，侧面$$PAC \perp$$底面$$ABC$$，$$\angle BAC=90^\circ$$，$$AB=AC=4$$，$$PA=\sqrt{10}$$，$$PC=\sqrt{2}$$，求外接球表面积。
建立坐标系：设$$A(0,0,0)$$，$$B(4,0,0)$$，$$C(0,4,0)$$，底面$$ABC$$在$$x-y$$平面。
侧面$$PAC \perp$$底面，设$$P$$在$$x-z$$平面，$$P(x,0,z)$$。
$$PA=\sqrt{10}$$：$$\sqrt{x^2+z^2}=\sqrt{10}$$。
$$PC=\sqrt{2}$$：$$\sqrt{x^2+(0-4)^2+z^2}=\sqrt{2}$$，即$$\sqrt{x^2+16+z^2}=\sqrt{2}$$，代入$$x^2+z^2=10$$得$$\sqrt{10+16}=\sqrt{26} \neq \sqrt{2}$$，矛盾。
重新考虑：$$PAC$$面垂直于底面，设$$P$$在过$$A$$且垂直于$$AC$$的平面内，但$$PA=\sqrt{10}$$，$$PC=\sqrt{2}$$，$$AC=4$$，由余弦定理：$$\cos \angle PAC = \frac{PA^2+AC^2-PC^2}{2 \cdot PA \cdot AC}=\frac{10+16-2}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot 4}=\frac{24}{8\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$$。
设$$P$$在坐标：$$A(0,0,0)$$，$$C(4,0,0)$$，$$P$$在$$x-z$$平面，$$P(x,0,z)$$，$$PA=\sqrt{x^2+z^2}=\sqrt{10}$$，$$\cos \angle PAC = \frac{x}{PA}=\frac{3}{\sqrt{10}}$$，所以$$x=3$$，则$$z=\pm1$$，取$$z=1$$，$$P(3,0,1)$$。
外接球球心在底面外心？底面$$ABC$$直角在$$A$$，外心为斜边$$BC$$中点$$M(2,2,0)$$，半径$$R_{底}=\frac{BC}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$。
设球心$$O(x,y,z)$$，由$$OA=OP=OB=OC$$。
解方程组复杂，或利用几何性质。
由于$$PA \perp AC$$（？），实际上$$\angle PAC$$锐角，不垂直。
计算各点距离：$$A(0,0,0)$$，$$B(4,0,0)$$，$$C(0,4,0)$$，$$P(3,0,1)$$。
求外接球：设球心$$O(a,b,c)$$，由$$OA^2=OB^2$$：$$a^2+b^2+c^2=(a-4)^2+b^2+c^2$$，得$$a=2$$。
$$OA^2=OC^2$$：$$a^2+b^2+c^2=a^2+(b-4)^2+c^2$$，得$$b=2$$。
$$OA^2=OP^2$$：$$a^2+b^2+c^2=(a-3)^2+b^2+(c-1)^2$$，代入$$a=2,b=2$$：$$4+4+c^2=(2-3)^2+4+(c-1)^2=1+4+c^2-2c+1$$，即$$8+c^2=6+c^2-2c$$，$$2c=-2$$，$$c=-1$$。
球心$$O(2,2,-1)$$，半径$$R=OA=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{9}=3$$。
表面积$$S=4\pi R^2=36\pi$$。
答案：D.$$36\pi$$
7. 点$$M(-1,1,2)$$在$$xOy$$、$$xOz$$、$$yOz$$平面上射影分别为$$A, B, C$$，求三棱锥$$M-ABC$$外接球表面积。
射影点：$$A(-1,1,0)$$（$$xOy$$），$$B(-1,0,2)$$（$$xOz$$），$$C(0,1,2)$$（$$yOz$$）。
四点$$M,A,B,C$$坐标：$$M(-1,1,2)$$，$$A(-1,1,0)$$，$$B(-1,0,2)$$，$$C(0,1,2)$$。
外接球球心：设$$O(x,y,z)$$，由$$OM=OA=OB=OC$$。
$$OM^2=OA^2$$：$$(x+1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=(x+1)^2+(y-1)^2+z^2$$，得$$(z-2)^2=z^2$$，$$z^2-4z+4=z^2$$，$$-4z+4=0$$，$$z=1$$。
$$OM^2=OB^2$$：$$(x+1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=(x+1)^2+y^2+(z-2)^2$$，得$$(y-1)^2=y^2$$，$$y^2-2y+1=y^2$$，$$-2y+1=0$$，$$y=0.5$$。
$$OM^2=OC^2$$：$$(x+1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=x^2+(y-1)^2+(z-2)^2$$，得$$(x+1)^2=x^2$$，$$x^2+2x+1=x^2$$，$$2x+1=0$$，$$x=-0.5$$。
球心$$O(-0.5,0.5,1)$$，半径$$R=OM=\sqrt{(-0.5+1)^2+(0.5-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{0.5^2+(-0.5)^2+(-1)^2}=\sqrt{0.25+0.25+1}=\sqrt{1.5}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$。
表面积$$S=4\pi R^2=4\pi \cdot \frac{3}{2}=6\pi$$。
答案：C.$$6\pi$$
8. 点$$A(x,0,2)$$，$$B(2,3,4)$$，$$|AB|=\sqrt{22}$$，求$$x$$。
$$|AB|^2=(x-2)^2+(0-3)^2+(2-4)^2=(x-2)^2+9+4=(x-2)^2+13=22$$。
$$(x-2)^2=9$$，$$x-2=\pm3$$，$$x=5$$或$$x=-1$$。
答案：A.$$5$$或$$-1$$
9. 点$$M(2,-3,1)$$关于原点对称点$$N$$，求$$|MN|$$。
$$N=(-2,3,-1)$$，$$\overrightarrow{MN}=N-M=(-4,6,-2)$$，模长$$|MN|=\sqrt{(-4)^2+6^2+(-2)^2}=\sqrt{16+36+4}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$$。
答案：B.$$2\sqrt{14}$$
10. 在$$x$$轴上找点$$P$$，与$$P_0(4,1,2)$$距离为$$\sqrt{30}$$，求$$P$$坐标。
设$$P(a,0,0)$$，距离平方：$$(a-4)^2+(0-1)^2+(0-2)^2=(a-4)^2+1+4=(a-4)^2+5=30$$。
$$(a-4)^2=25$$，$$a-4=\pm5$$，$$a=9$$或$$a=-1$$。
答案：C.$$(9,0,0)$$或$$(-1,0,0)$$