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正确率60.0%已知空间中三点$$A ( 0， ~ 0， ~ 0 )， ~ ~ B ( 1， ~-1， ~ 2 )，$$$$C (-1， ~-2， ~ 1 )，$$则以$$A B， \ A C$$为邻边的平行四边形的面积为（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
2、['空间向量的正交分解'， '空间向量运算的坐标表示'， '空间向量基本定理的应用'， '空间向量的线性运算']正确率40.0%若向量$${{p}^{→}}$$在空间的一个单位正交基底$$\{\overrightarrow{a}， \overrightarrow{b}， \overrightarrow{c} \}$$下的坐标是$$( 1， 3， 2 )$$，则$${{p}^{→}}$$在基底$$\{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}， \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}， \overrightarrow{c} \}$$下的坐标是（）
C
A.$$( 4，-2， 2 )$$
B.$$( 2， 1， 2 )$$
C.$$( 2，-1， 2 )$$
D.$$( 1， 3， 2 )$$
3、['空间向量运算的坐标表示']正确率80.0%在空间直角坐标系下，点$$M (-3， 6， 2 )$$关于$${{y}}$$轴对称的点的坐标为$${{(}{)}}$$
D
A.$$( 3，-6， 2 )$$
B.$$(-3，-6，-2 )$$
C.$$( 3， 6，-2 )$$
D.$$( 3，-6，-2 )$$
4、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的线性运算']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2， 0， 1 )$$，$$\vec{b}=( 3， 1， 4 )$$，则$$\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}=( \textit{} )$$
A.$$(-4， 2， 7 )$$
B.$$(-4，-2，-7 )$$
C.$$( 4，-2， 7 )$$
D.$$( 4， 2，-7 )$$
5、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积']正确率60.0%已知空间向量$$\overrightarrow{a}=(-3， 2， 5 )， \， \overrightarrow{b}$$$$= ( 1， 5，-1 )$$，则$$\overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b} )=$$（）
C
A.$$( 0， 3 4， 1 0 )$$
B.$$(-3， 1 9， 7 )$$
C.$${{4}{4}}$$
D.$${{2}{3}}$$
6、['空间向量运算的坐标表示']正确率60.0%已知点$${{A}}$$的坐标为$$A ~ ( \textbf{1}， \textbf{1}， \textbf{0} )$$，向量$${\frac{1} {2}} \overrightarrow{A B}=~ {( 4， ~ 0， ~ 2 )} ~ ~，$$则点$${{B}}$$的坐标为（）
B
A.$$( \mathbf{7}， \mathbf{\tau}-1， \mathbf{\tau} 4 )$$
B.$$( 9， ~ 1， ~ 4 )$$
C.$$( 3， ~ 1， ~ 1 )$$
D.$$( 1， ~-1， ~ 1 )$$
7、['空间直角坐标系'， '空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究点到平面的距离'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%已知正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的棱长为$${{2}}$$，则$${{D}_{1}}$$到平面$${{A}_{1}{B}{D}}$$的距离为（）
D
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
8、['空间直角坐标系'， '空间向量运算的坐标表示'， '直线与平面所成的角'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%在正四面体$$D-A B C ~ ($$所有棱长均相等的三棱锥）中，点$${{E}}$$在棱$${{A}{B}}$$上，满足$$A E=2 E B$$，点$${{F}}$$为线段$${{A}{C}}$$上的动点．设直线$${{D}{E}}$$与平面$${{D}{B}{F}}$$所成的角为$${{α}{，}}$$则（）
C
A.存在某个位置，使得$$D E \perp B F$$
B.存在某个位置，使得$$\angle F D B=\frac{\pi} {4}$$
C.存在某个位置，使得平面$${{D}{E}{F}{⊥}}$$平面$${{D}{A}{C}}$$
D.存在某个位置，使得$$\alpha=\frac{\pi} {6}$$
9、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\vec{a}=( 1， 0，-1 )， \vec{b}=(-1， 2， 1 )$$，且$${{k}{{a}{⃗}}{+}{{b}^{⃗}}}$$与$$2 \vec{a}-3 \vec{b}$$互相垂直，则$${{k}}$$的值是（）
D
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$$\frac{6} {5}$$
D.$$\frac{1 1} {5}$$
10、['空间向量运算的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 1， 0 )， \; \; \overrightarrow{b}=(-1， 0， 2 )$$，则$$\left| 3 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|$$为$${{(}{)}}$$
D
A.$${\sqrt {{1}{5}}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${\sqrt {{1}{7}}}$$
1. 首先计算向量 $$AB$$ 和 $$AC$$ 的坐标：
$$AB = (1-0, -1-0, 2-0) = (1, -1, 2)$$
$$AC = (-1-0, -2-0, 1-0) = (-1, -2, 1)$$
然后计算叉积 $$AB \times AC$$：
$$AB \times AC = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (3, -3, -3)$$
叉积的模长为 $$|AB \times AC| = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{3}$$
平行四边形的面积为 $$3\sqrt{3}$$，因此答案为 D。
2. 向量 $$\vec{p}$$ 在基底 $$\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$$ 下的坐标为 $$(1, 3, 2)$$，即 $$\vec{p} = \vec{a} + 3\vec{b} + 2\vec{c}$$。
现在需要在基底 $$\{\vec{a}+\vec{b}, \vec{a}-\vec{b}, \vec{c}\}$$ 下表示 $$\vec{p}$$：
设 $$\vec{p} = x(\vec{a}+\vec{b}) + y(\vec{a}-\vec{b}) + z\vec{c}$$，展开得到：
$$\vec{p} = (x+y)\vec{a} + (x-y)\vec{b} + z\vec{c}$$
与 $$\vec{p} = \vec{a} + 3\vec{b} + 2\vec{c}$$ 对比系数：
$$x + y = 1$$
$$x - y = 3$$
$$z = 2$$
解得 $$x = 2$$，$$y = -1$$，$$z = 2$$，因此坐标为 $$(2, -1, 2)$$，答案为 C。
3. 点 $$M(-3, 6, 2)$$ 关于 $$y$$ 轴对称，$$y$$ 坐标不变，$$x$$ 和 $$z$$ 坐标取反，得到对称点坐标为 $$(3, 6, -2)$$，答案为 C。
4. 向量 $$\vec{a} = (2, 0, 1)$$，$$\vec{b} = (3, 1, 4)$$，计算 $$\vec{a} - 2\vec{b}$$：
$$\vec{a} - 2\vec{b} = (2 - 6, 0 - 2, 1 - 8) = (-4, -2, -7)$$
答案为 B。
5. 向量 $$\vec{a} = (-3, 2, 5)$$，$$\vec{b} = (1, 5, -1)$$，计算 $$\vec{a} + 3\vec{b}$$：
$$\vec{a} + 3\vec{b} = (-3 + 3, 2 + 15, 5 - 3) = (0, 17, 2)$$
然后计算点积 $$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 3\vec{b})$$：
$$(-3) \times 0 + 2 \times 17 + 5 \times 2 = 0 + 34 + 10 = 44$$
答案为 C。
6. 点 $$A(1, 1, 0)$$，$$\frac{1}{2}\vec{AB} = (4, 0, 2)$$，因此 $$\vec{AB} = (8, 0, 4)$$。
点 $$B$$ 的坐标为 $$A + \vec{AB} = (1 + 8, 1 + 0, 0 + 4) = (9, 1, 4)$$，答案为 B。
7. 正方体棱长为 $$2$$，建立坐标系，设 $$D_1(0, 0, 2)$$，平面 $$A_1BD$$ 的方程为 $$x + y + z = 2$$。
点 $$D_1$$ 到平面的距离公式为：
$$\frac{|0 + 0 + 2 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{0}{\sqrt{3}} = 0$$
但题目可能有误，重新计算平面 $$A_1BD$$ 的法向量和距离：
平面法向量为 $$\vec{A_1B} \times \vec{A_1D} = (2, -2, 0) \times (0, -2, -2) = (4, 4, -4)$$，归一化后距离为 $$\frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$，答案为 D。
8. 正四面体中，选项分析：
A. 当 $$F$$ 为 $$A$$ 时，$$DE$$ 与 $$BF$$ 不垂直，不存在位置使 $$DE \perp BF$$。
B. 当 $$F$$ 为 $$A$$ 时，$$\angle FDB$$ 为 $$\frac{\pi}{3}$$，不可能为 $$\frac{\pi}{4}$$。
C. 当 $$F$$ 为 $$A$$ 时，平面 $$DEF$$ 与平面 $$DAC$$ 重合，不垂直。
D. 当 $$F$$ 移动时，$$\alpha$$ 可以取到 $$\frac{\pi}{6}$$，答案为 D。
9. 向量 $$\vec{a} = (1, 0, -1)$$，$$\vec{b} = (-1, 2, 1)$$，计算 $$k\vec{a} + \vec{b}$$ 和 $$2\vec{a} - 3\vec{b}$$：
$$k\vec{a} + \vec{b} = (k - 1, 2, -k + 1)$$
$$2\vec{a} - 3\vec{b} = (5, -6, -5)$$
点积为零：
$$(k - 1) \times 5 + 2 \times (-6) + (-k + 1) \times (-5) = 0$$
解得 $$k = \frac{11}{5}$$，答案为 D。
10. 向量 $$\vec{a} = (1, 1, 0)$$，$$\vec{b} = (-1, 0, 2)$$，计算 $$3\vec{a} + \vec{b}$$：
$$3\vec{a} + \vec{b} = (3 - 1, 3 + 0, 0 + 2) = (2, 3, 2)$$
模长为 $$\sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{17}$$，答案为 D。