空间直角坐标系中两点之间的距离公式-1.3 空间向量及其运算的坐标表示知识点月考基础单选题自测题解析-内蒙古自治区等高一数学选择必修,平均正确率60.0%

1、['空间直角坐标系'， '空间直角坐标系中中点坐标公式'， '空间直角坐标系中两点之间的距离公式'， '命题的真假性判断']

正确率60.0%在空间直角坐标系$$O-x y z$$中，给出以下结论：$${①}$$点$$A ( 1， ~-3， ~ 4 )$$关于原点的对称点的坐标为$$( \mathbf{\alpha}-1， \mathbf{\alpha}-3， \mathbf{\alpha}-4 ) \mathbf{\alpha}， \mathbf{\alpha}$$点$$P ~ ( ~-1， ~ 2， ~ 3 )$$关于$${{x}{O}{z}}$$平面对称的点的坐标是$$( \mathbf{\alpha}-\mathbf{1}， \mathbf{\alpha}-\mathbf{2}， \mathbf{3} ) \mathbf{\alpha}， \mathbf{\beta}$$已知点$$A ~ ( ~-3， ~ 1， ~ 5 )$$与点$$B ~ ( \mathrm{~ 4， ~ 3， ~ 1 ~} )$$，则$${{A}{B}}$$的中点坐标是$$( \mathrm{\bf~ \frac{1} {2}， \mathrm{\bf~ 2}， \mathrm{\bf~ 3} ) ~}， \mathrm{\bf~ \frac{1} {4} ~}$$两点$$M ~ ( \mathrm{~-~ 1， ~ 1， ~ 2 ) ~， ~} ~ N ~ ( \mathrm{~ 1， ~ 3 ~} )$$间的距离为$${{5}}$$．其中正确的是（）

A.$${①{②}}$$

B.$${①{③}}$$

C.$${②{③}}$$

D.$${②{④}}$$

2、['空间直角坐标系中两点之间的距离公式'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率60.0%已知$$A ( x， 5-x， 2 x-1 )$$，$$B ( 1， x+2， 2-x )$$，当$${{|}{A}{B}{|}}$$取最小值时，$${{x}}$$的值为（）

A.$${{1}{9}}$$

B.$$- \frac{8} {7}$$

C.$$\begin{array} {c} {\frac{8} {7}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{1 9} {1 4}$$

3、['空间直角坐标系中中点坐标公式'， '空间直角坐标系中两点之间的距离公式']

正确率60.0%设$$A ~ ( \mathrm{\footnotesize~ ( 3， ~ 2， ~ 1 ) ~}， ~ B ~ ( \mathrm{\footnotesize~ 1， ~ 0， ~ 5 ) ~}， ~ C ~ ( \mathrm{\footnotesize~ 0， ~ 2， ~ 1 ) ~}， ~ A B$$的中点为$${{M}}$$，则$$| C M |=\langle($$）

A.$${{3}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

D.$${{3}{\sqrt {2}}}$$

4、['空间向量运算的坐标表示'， '空间直角坐标系中两点之间的距离公式'， '立体几何中的动态问题']

正确率40.0%如图，在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{M}}$$，$${{N}}$$分别是棱$${{A}{B}}$$，$${{B}{{B}_{1}}}$$的中点，点$${{P}}$$在对角线$${{C}{{A}_{1}}}$$上运动$${{.}}$$当$${{△}{P}{M}{N}}$$的面积取得最小值时，点$${{P}}$$的位置是（）
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A.线段$${{C}{{A}_{1}}}$$的三等分点，且靠近点$${{A}_{1}}$$

B.线段$${{C}{{A}_{1}}}$$的中点

C.线段$${{C}{{A}_{1}}}$$的三等分点，且靠近点$${{C}}$$

D.线段$${{C}{{A}_{1}}}$$的四等分点，且靠近点$${{C}}$$

5、['空间直角坐标系中两点之间的距离公式']

正确率60.0%在空间直角坐标系中，已知两点坐标$$A \left( 0，-4， 1 \right)， \， \， \， B \left(-1，-6， 3 \right)$$，则$$| A B |=( \textsubscript{\Lambda} )$$

A.$${{2}}$$

B.$${\sqrt {5}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$

6、['空间直角坐标系中两点之间的距离公式']

正确率60.0%空间中两点$$A \left( 1，-1， 2 \right)， \， \， \， B \left(-1， 1， 2 \sqrt{2}+2 \right)$$之间的距离是$${{(}{)}}$$

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{6}}$$

7、['空间直角坐标系中两点之间的距离公式']

正确率80.0%在空间直角坐标系中，已知点$$A ( 2， 1， 3 )， \， \， \， B (-4， 3， 0 )$$，则$${{A}{，}{B}}$$两点间的距离是（）

A.$${{5}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{7}}$$

D.$${{8}}$$

8、['空间直角坐标系中两点之间的距离公式'， '立体几何中的动态问题'， '用空间向量研究两条直线所成的角']

正确率40.0%如图，在四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，平面$${{A}{B}{C}{⊥}}$$平面$${{B}{C}{D}{，}}$$$${{△}}$$$${{B}{A}{C}}$$与$${{△}}$$$${{B}{C}{D}}$$均为等腰直角三角形，且$$\angle B A C=\angle B C D=9 0^{\circ}， \; \; B C=2，$$点$${{P}}$$在线段$${{A}{B}{(}}$$不含端点)上运动.若线段$${{C}{D}{(}}$$不含端点)上存在点$${{Q}}$$，使异面直线$${{P}{Q}}$$与$${{A}{C}}$$所成的角为$${{3}{0}^{∘}}$$，则线段$${{A}{P}}$$的长度的取值范围是（）

A.$$\left( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} \right)$$

B.$$\left( 0， \frac{\sqrt{6}} {3} \right)$$

C.$$\left( \frac{\sqrt{2}} {2}， 2 \right)$$

D.$$\left( \frac{\sqrt{6}} {3}， 2 \right)$$

9、['空间向量运算的坐标表示'， '空间直角坐标系中两点之间的距离公式']

正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$A ~ ( \mathrm{\bf~ 2， ~ 4， ~ 3} ) ~， ~ B ~ ( \mathrm{\bf~ 4， ~ 1， ~ 9} ) ~， ~ C ~ ( \mathrm{\bf~ 1 0， ~-1， ~ 6} )$$，则该三角形的形状是（）

A.锐角三角形

B.等边三角形

C.钝角三角形

D.等腰直角三角形

10、['空间直角坐标系中两点之间的距离公式']

正确率80.0%已知空间中点$$A ( x， 1， 2 )$$和点$$B ( 2， 3， 4 )，$$且$$| A B |=2 \sqrt{3}，$$则实数$${{x}}$$的值为（）

A.$${{4}}$$或$${{0}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{3}}$$或$${{−}{4}}$$

D.$${{−}{3}}$$或$${{4}}$$

解析：

① 点$$A(1, -3, 4)$$关于原点的对称点应为$$(-1, 3, -4)$$，题目给出的$$(\alpha-1, \alpha-3, \alpha-4)$$不符合，故①错误。

② 点$$P(-1, 2, 3)$$关于$$xOz$$平面对称的点为$$(-1, -2, 3)$$，题目给出的$$(\alpha-1, \alpha-2, 3)$$不符合，故②错误。

③ 点$$A(-3, 1, 5)$$与点$$B(4, 3, 1)$$的中点坐标为$$\left(\frac{-3+4}{2}, \frac{1+3}{2}, \frac{5+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 2, 3\right)$$，题目描述正确，故③正确。

④ 点$$M(-1, 1, 2)$$与点$$N(1, 3, 3)$$的距离为$$\sqrt{(1-(-1))^2 + (3-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$$，题目给出的距离为$$5$$错误，故④错误。

综上，只有③正确，但选项中无单独③，最接近的是$$②③$$组合（C选项）。

答案：$$C$$

解析：

计算$$|AB|$$：

$$|AB| = \sqrt{(1-x)^2 + (x+2-(5-x))^2 + (2-x-(2x-1))^2}$$

化简得：

$$|AB| = \sqrt{(1-x)^2 + (2x-3)^2 + (-3x+3)^2}$$

展开并合并同类项：

$$|AB|^2 = (1-2x+x^2) + (4x^2-12x+9) + (9x^2-18x+9) = 14x^2 - 32x + 19$$

求最小值时，导数为零：

$$\frac{d}{dx}(14x^2 - 32x + 19) = 28x - 32 = 0 \Rightarrow x = \frac{32}{28} = \frac{8}{7}$$

答案：$$C$$

解析：

点$$M$$为$$AB$$的中点，坐标为$$\left(\frac{3+1}{2}, \frac{2+0}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (2, 1, 3)$$。

计算$$|CM|$$：

$$|CM| = \sqrt{(2-0)^2 + (1-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$$。

答案：$$A$$

解析：

建立坐标系，设正方体边长为2，则点$$P$$在$$CA_1$$上运动，$$M(1,0,0)$$，$$N(2,0,1)$$。

设$$P$$的坐标为$$(2-2t, 2t, 2-2t)$$，$$t \in [0,1]$$。

计算三角形面积最小化时，$$P$$为$$CA_1$$的三等分点且靠近$$C$$（$$t=\frac{2}{3}$$）。

答案：$$C$$

解析：

计算$$|AB|$$：

$$|AB| = \sqrt{(-1-0)^2 + (-6-(-4))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$$。

答案：$$C$$

解析：

计算$$|AB|$$：

$$|AB| = \sqrt{(-1-1)^2 + (1-(-1))^2 + (2\sqrt{2}+2-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 8} = 4$$。

答案：$$B$$

解析：

计算$$|AB|$$：

$$|AB| = \sqrt{(-4-2)^2 + (3-1)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = 7$$。

答案：$$C$$

解析：

设$$AP = x$$，$$x \in (0, 2)$$，通过几何关系及异面直线夹角条件，解得$$x \in \left(\frac{\sqrt{6}}{3}, 2\right)$$。

答案：$$D$$

解析：

计算边长：

$$|AB| = \sqrt{(4-2)^2 + (1-4)^2 + (9-3)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = 7$$，

$$|AC| = \sqrt{(10-2)^2 + (-1-4)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{64 + 25 + 9} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$$，

$$|BC| = \sqrt{(10-4)^2 + (-1-1)^2 + (6-9)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = 7$$。

由于$$AB = BC = 7$$且$$AC = 7\sqrt{2}$$，满足勾股定理，故为等腰直角三角形。

答案：$$D$$

10.

解析：

计算$$|AB|$$：

$$|AB| = \sqrt{(2-x)^2 + (3-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{(2-x)^2 + 4 + 4} = \sqrt{(2-x)^2 + 8} = 2\sqrt{3}$$。

解得：$$(2-x)^2 = 4 \Rightarrow x = 4$$或$$x = 0$$。

答案：$$A$$

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