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正确率60.0%正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$的棱长为$${{4}{，}{M}}$$为棱$${{C}{{C}_{1}}}$$的中点$${，{F}}$$为正方形$${{A}_{1}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$内(含边界)的动点，若$${{M}{F}{⊥}{A}{M}{，}}$$则动点$${{F}}$$的轨迹长度为（）
A
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$$\frac{\pi} {2}$$
D.$${{π}}$$
2、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积']正确率80.0%若$${{a}{=}{(}{2}{，}{3}{，}{−}{1}{)}}$$，$${{b}{=}{(}{2}{，}{0}{，}{3}{)}}$$，$${{c}{=}{(}{0}{，}{2}{，}{2}{)}}$$，则$${{a}{⋅}{(}{b}{+}{c}{)}{=}}$$（）
B
A.$${{(}{4}{，}{6}{，}{−}{5}{)}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{3}{6}}$$
3、['空间向量运算的坐标表示'， '共面向量定理'， '空间向量的线性运算']正确率80.0%在空间直角坐标系中，向量$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{−}{2}{，}{1}{)}}$$，$${{b}^{→}{=}{(}{1}{，}{0}{，}{2}{)}}$$，则$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}{=}{(}{)}}$$
A.$${{(}{2}{，}{−}{2}{，}{3}{)}}$$
B.$${{(}{−}{2}{，}{2}{，}{−}{3}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{2}{，}{1}{)}}$$
D.$${{(}{0}{，}{−}{2}{，}{−}{1}{)}}$$
4、['空间直角坐标系'， '空间向量运算的坐标表示'， '空间向量基本定理的应用']正确率60.0%已知$${{\{}{a}{，}{b}{，}{c}{\}}}$$是空间的一个单位正交基底，$${{\{}{a}{+}{b}{，}{a}{−}{b}{，}{c}{\}}}$$是空间的另一个基底，若向量$${{p}}$$在基底$${{\{}{{a}{，}{b}{，}{c}}{\}}}$$下的坐标为$${{(}{3}{，}{2}{，}{1}{)}{，}}$$则它在$${{\{}{{a}{+}{b}{，}{a}{−}{b}{，}{c}}{\}}}$$下的坐标为（）
D
A.$$\left( \frac{1} {2}， ~ \frac{5} {2}， ~ 1 \right)$$
B.$$\left( \frac{5} {2}， ~ 1， ~ \frac{1} {2} \right)$$
C.$$\left( 1， ~ \frac{1} {2}， ~ \frac{5} {2} \right)$$
D.$$\left( \frac{5} {2}， ~ \frac{1} {2}， ~ 1 \right)$$
5、['空间向量运算的坐标表示']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{−}{2}{，}{2}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{1}{，}{1}{，}{6}{)}}$$，则$$\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|=$$（）
B
A.$${{2}{5}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{1}{7}}$$
D.$${\sqrt {{1}{7}}}$$
6、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量数量积的性质'， '空间向量的线性运算'， '空间投影向量与投影数量']正确率60.0%已知空间三点$${{A}{(}{0}{，}{0}{，}{0}{)}{，}{B}{(}{0}{，}{\sqrt {3}}{，}{1}{)}{，}{C}{(}{0}{，}{\sqrt {3}}{，}{−}{1}{)}}$$，设$$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{A B}， \， \， \， \boldsymbol{b}=\overrightarrow{B C}， \， \， \， \boldsymbol{c}=\overrightarrow{C A}，$$则下列说法错误的是（）
B
A.$${{a}{+}{c}{+}{b}{=}{0}}$$
B.$${{b}}$$在$${{c}}$$方向上的投影向量等于$$\frac{c} {2}$$
C.$${{△}{A}{B}{C}}$$是等边三角形
D. $$\left( a+\frac{b} {2} \right) \cdot b+\left( b+\frac{c} {2} \right) \cdot c+\left( c+\frac{a} {2} \right) \cdot a=0$$
8、['两点间的距离'， '空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']正确率19.999999999999996%已知三棱锥$${{A}{−}{B}{C}{D}}$$中，底面$${{B}{C}{D}}$$为等边三角形，$${{A}{B}{=}{A}{C}{=}{A}{D}{=}{3}{，}{B}{C}{=}{2}{\sqrt {3}}}$$，点$${{E}}$$为$${{C}{D}}$$的中点，点$${{F}}$$为$${{B}{E}}$$的中点，若点$${{M}{、}{N}}$$是空间中的两动点，且$${\frac{M B} {M F}}={\frac{N B} {N F}}=2， \， \， \， M N=2，$$则$$\overrightarrow{A M} \cdot\overrightarrow{A N}=$$（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{8}}$$
9、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示']正确率60.0%已知$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{2}{，}{−}{y}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{x}{，}{1}{，}{2}{)}{，}}$$且$${{(}{{a}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}{)}{/}{/}{(}{2}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{)}}$$，则（）
B
A.$$x=\frac{1} {3}， y=1$$
B.$$x=\frac{1} {2}， y=-4$$
C.$$x=2， y=-\frac{1} {4}$$
D.$${{x}{=}{1}{，}{y}{=}{−}{1}}$$
10、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量数量积的性质']正确率80.0%已知空间向量$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{−}{1}{，}{0}{)}}$$，$${{b}^{→}{=}{(}{3}{，}{−}{2}{，}{1}{)}}$$，则$${{|}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{|}{=}{(}{)}}$$
D
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${\sqrt {6}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${\sqrt {{2}{6}}}$$
1. 建立坐标系，设正方体顶点坐标，确定点 $$M$$ 和点 $$A$$ 的坐标。利用向量垂直条件 $$MF \cdot AM = 0$$，推导点 $$F$$ 的轨迹方程。最终得到轨迹为一段圆弧，计算其长度为 $$2\sqrt{2}$$，故选 B。
2. 先计算 $$b + c = (2, 0, 3) + (0, 2, 2) = (2, 2, 5)$$。再计算 $$a \cdot (b + c) = (2)(2) + (3)(2) + (-1)(5) = 4 + 6 - 5 = 5$$，故选 B。
3. 向量减法逐项相减，$$a^→ - b^→ = (1 - 1, -2 - 0, 1 - 2) = (0, -2, -1)$$，故选 D。
4. 将向量 $$p$$ 表示为 $$p = 3a + 2b + c$$。在新基底 $$\{a + b, a - b, c\}$$ 下，设 $$p = x(a + b) + y(a - b) + zc$$，解得 $$x = \frac{5}{2}$$，$$y = \frac{1}{2}$$，$$z = 1$$，故选 D。
5. 计算向量差 $$a^→ - b^→ = (0, -3, -4)$$，模长为 $$\sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-4)^2} = 5$$，故选 B。
6. 验证各选项：A 正确（向量和为零）；B 错误（投影向量应为 $$-\frac{c}{2}$$）；C 正确（边长均为 2）；D 正确（展开后为零）。故选 B。
8. 建立坐标系，确定点坐标，利用条件 $$\frac{MB}{MF} = \frac{NB}{NF} = 2$$ 得到 $$M$$ 和 $$N$$ 的几何关系。计算 $$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN} = 6$$，故选 C。
9. 由平行条件得比例关系，解方程组得 $$x = \frac{1}{2}$$，$$y = -4$$，故选 B。
10. 计算向量和 $$a^→ + b^→ = (4, -3, 1)$$，模长为 $$\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{26}$$，故选 D。