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正确率40.0%已知三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$中，底面$${{A}{B}{C}}$$是边长为$${{2}{\sqrt {3}}}$$的正三角形，点$${{P}}$$在底面上的射影为底面的中心，且三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$外接球的表面积为$${{1}{8}{π}{，}}$$球心在三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$内，则平面$${{A}{B}{P}}$$与平面$${{A}{B}{C}}$$夹角的余弦值为（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
2、['棱锥的结构特征及其性质'， '与球有关的切、接问题'， '球的表面积']正确率60.0%若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为$${{1}}$$，$${\sqrt {2}}$$，$${\sqrt {3}}$$，则其外接球的表面积是（）
C
A.$${\sqrt {6}{π}}$$
B.$${{2}{\sqrt {6}}{π}}$$
C.$${{6}{π}}$$
D.$${{3}{\sqrt {6}}{π}}$$
6、['棱锥的结构特征及其性质'， '与球有关的切、接问题'， '二面角'， '球的表面积']正确率40.0%在三棱锥$${{S}{−}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{B}{⊥}{B}{C}{，}{A}{B}{=}{B}{C}{=}{\sqrt {2}}{，}{S}{A}{=}{S}{C}{=}{2}}$$，二面角$${{S}{−}{A}{C}{−}{B}}$$的平面角的余弦值是$$- \frac{\sqrt3} {3}$$，若$${{S}{，}{A}{，}{B}{，}{C}}$$在同一球面上，则该球的表面积是（）
A
A.$${{6}{π}}$$
B.$${{7}{π}}$$
C.$${{8}{π}}$$
D.$${{9}{π}}$$
7、['立体几何中的折叠问题'， '球的表面积']正确率40.0%在平面四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{A}{D}{=}{A}{B}{=}{2}}$$，$${{C}{D}{=}{C}{B}{=}{2}{\sqrt {2}}}$$，且$${{A}{D}{⊥}{A}{B}}$$，现将$${{△}{A}{B}{D}}$$沿着对角线$${{B}{D}}$$翻折成$${{△}{{A}^{′}}{B}{D}{，}}$$且使得$${{A}{^{′}}{C}{=}{2}}$$，则三棱锥$${{A}{^{′}}{−}{B}{C}{D}}$$的外接球表面积等于（）
B
A.$${{1}{6}{π}}$$
B.$${{1}{2}{π}}$$
C.$${{4}{\sqrt {3}}{π}}$$
D.$${{3}{π}}$$
8、['圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积'， '球的表面积']正确率60.0%已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{6}} {9}$$
D.$$\frac{8} {2 7}$$
9、['空间等角定理'， '空间中直线与直线的位置关系'， '空间中直线与平面的位置关系'， '空间中平面与平面的位置关系'， '球的体积'， '充分、必要条件的判定'， '球的表面积']正确率40.0%现给出如下命题：
$${{(}{1}{)}}$$若直线$${{l}}$$上有两个点到平面$${{α}}$$的距离相等，则直线$${{l}{/}{/}}$$平面$${{α}{；}}$$
$${{(}{2}{)}{“}}$$平面$${{β}}$$上有四个不共线的点到平面$${{α}}$$的距离相等$${{”}}$$的充要条件是$${{“}}$$平面$${{α}{/}{/}}$$平面$${{β}{”}{；}}$$
$${{(}{3}{)}}$$若一个球的表面积是$${{1}{0}{8}{π}}$$，则它的体积$$V_{\q\ast}=1 0 8 \sqrt{3} \pi$$；
$${{(}{4}{)}}$$在空间中，若角$${{α}}$$的两边分别与角$${{β}}$$的两边平行，则$${{α}{=}{β}{．}}$$
则其中正确命题的个数为
A
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
10、['棱锥的结构特征及其性质'， '与球有关的切、接问题'， '球的表面积']正确率40.0%已知四面体$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$，其中$${{△}{A}{B}{C}}$$是边长为$${{6}}$$的等边三角形，$${{P}{A}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}{，}{P}{A}{=}{4}}$$，则四面体$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$外接球的表面积为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{8}{6}{π}}$$
B.$${{6}{4}{π}}$$
C.$${{4}{8}{π}}$$
D.$${{3}{6}{π}}$$
1. 解析：
首先，底面$$ABC$$是边长为$$2\sqrt{3}$$的正三角形，其中心$$O$$也是垂心和外心。计算底面中心到顶点的距离：
$$AO = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \times \frac{2}{3} = 2$$
三棱锥外接球的表面积为$$18π$$，故半径$$R = \sqrt{\frac{18π}{4π}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$。
设$$PO = h$$，球心在$$PO$$上，距离底面$$d$$，由勾股定理：
$$R^2 = d^2 + AO^2$$
$$\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 = d^2 + 2^2$$
$$\frac{9}{2} = d^2 + 4$$
$$d = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
因为球心在三棱锥内，$$h = R + d = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$。
平面$$ABP$$与底面$$ABC$$的夹角为$$\theta$$，计算二面角的余弦值：
$$\cos \theta = \frac{h}{\sqrt{h^2 + AO^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 2^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{8 + 4}} = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$
但题目选项中没有$$\frac{\sqrt{6}}{3}$$，可能是计算有误。重新考虑二面角的平面角：
取$$AB$$中点$$M$$，连接$$PM$$和$$OM$$，则$$\angle PMO$$为二面角的平面角。
$$OM = \sqrt{AO^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2} = \sqrt{4 - 3} = 1$$
$$PM = \sqrt{PO^2 + OM^2} = \sqrt{8 + 1} = 3$$
$$\cos \theta = \frac{OM}{PM} = \frac{1}{3}$$
故选B。
2. 解析：
三条侧棱两两垂直，外接球半径$$R$$为长方体对角线的一半：
$$R = \frac{\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
表面积为$$4πR^2 = 4π \times \frac{6}{4} = 6π$$。
故选C。
6. 解析：
首先确定$$ABC$$为等腰直角三角形，$$AC = 2$$。
设球心为$$O$$，在平面$$ABC$$的投影为$$O'$$。由二面角条件，利用余弦定理求出$$SO'$$：
$$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$
通过几何关系解得球的半径$$R = \frac{\sqrt{7}}{2}$$，表面积为$$7π$$。
故选B。
7. 解析：
翻折后，$$A'C = 2$$，利用空间几何关系确定外接球半径$$R = 2$$。
表面积为$$4πR^2 = 16π$$。
故选A。
8. 解析：
设圆锥底面半径$$r$$，母线$$l = 2r$$。
球与圆锥相切，利用相似关系得球的半径$$R = \frac{r}{\sqrt{2}}$$。
圆锥表面积为$$πr^2 + πrl = 3πr^2$$，球表面积为$$4πR^2 = 2πr^2$$。
比值为$$\frac{2}{3}$$。
故选A。
9. 解析：
(1) 错误，直线可能与平面相交。
(2) 错误，充要条件不成立。
(3) 错误，球的半径$$R = 3\sqrt{3}$$，体积为$$108\sqrt{3}π$$，正确。
(4) 错误，角可能相等或互补。
只有(3)正确。
故选A。
10. 解析：
底面$$ABC$$是边长为6的等边三角形，外接圆半径$$R_{ABC} = 2\sqrt{3}$$。
四面体外接球半径$$R$$满足：
$$R^2 = \left(\frac{PA}{2}\right)^2 + R_{ABC}^2 = 4 + 12 = 16$$
$$R = 4$$，表面积为$$64π$$。
故选B。