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正确率60.0%正多面体共有$${{5}}$$种，它们分别是正四面体、正六面体(即正方体)、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知连接某正方体的相邻面的中心，可以得到一个正八面体，若该正八面体的体积为$$\frac{3 2} {3}，$$则正方体的棱长为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
7、['组合体的表面积与体积'， '立体几何中的数学文化']正确率40.0%中国古代名词$${{“}}$$刍童$${{”}}$$原来是草堆的意思，关于$${{“}}$$刍童$${{”}}$$体积计算的描述，$${《}$$九章算术$${》}$$注曰：$${{“}}$$倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高乘之，皆六而一．$${{”}}$$其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个$${{“}}$$刍童$${{”}}$$的下底面是周长为$${{1}{8}}$$的矩形，上底面矩形的长为$${{3}}$$，宽为$${{2}{，}{“}}$$刍童$${{”}}$$的高为$${{3}}$$，则该$${{“}}$$刍童$${{”}}$$的体积的最大值为（）
B
A.$$\frac{3 9} {2}$$
B.$$\frac{7 5} {2}$$
C.$${{3}{9}}$$
D.$$\frac{6 0 1} {8}$$
1. 首先，设正方体的棱长为 $$a$$。连接正方体相邻面中心得到的正八面体的体积公式为 $$V = \frac{a^3}{6}$$。根据题目，正八面体的体积为 $$\frac{32}{3}$$，因此有：
$$\frac{a^3}{6} = \frac{32}{3}$$
解得：
$$a^3 = 64$$
$$a = 4$$
因此，正方体的棱长为 $$4$$，对应选项 D。
7. 设下底面的长为 $$x$$，宽为 $$y$$。根据题意，下底面的周长为 $$18$$，因此有：
$$2(x + y) = 18$$
$$x + y = 9$$
上底面的长为 $$3$$，宽为 $$2$$，高为 $$3$$。根据“刍童”体积的计算公式：
$$V = \frac{1}{6} \times \left[(2 \times 3 + x) \times 2 + (2 \times x + 3) \times y\right] \times 3$$
化简得：
$$V = \frac{1}{2} \times \left[(6 + x) \times 2 + (2x + 3) \times y\right]$$
$$V = \frac{1}{2} \times \left[12 + 2x + 2xy + 3y\right]$$
由于 $$x + y = 9$$，可以用 $$y = 9 - x$$ 代入上式：
$$V = \frac{1}{2} \times \left[12 + 2x + 2x(9 - x) + 3(9 - x)\right]$$
$$V = \frac{1}{2} \times \left[12 + 2x + 18x - 2x^2 + 27 - 3x\right]$$
$$V = \frac{1}{2} \times \left[39 + 17x - 2x^2\right]$$
为了求 $$V$$ 的最大值，对 $$V$$ 关于 $$x$$ 求导并令导数为零：
$$\frac{dV}{dx} = \frac{1}{2} \times (17 - 4x) = 0$$
解得：
$$x = \frac{17}{4}$$
代入 $$y = 9 - x$$ 得：
$$y = \frac{19}{4}$$
将 $$x = \frac{17}{4}$$ 代入 $$V$$ 的表达式：
$$V = \frac{1}{2} \times \left[39 + 17 \times \frac{17}{4} - 2 \times \left(\frac{17}{4}\right)^2\right]$$
$$V = \frac{1}{2} \times \left[39 + \frac{289}{4} - \frac{578}{16}\right]$$
$$V = \frac{1}{2} \times \left[\frac{624}{16} + \frac{1156}{16} - \frac{578}{16}\right]$$
$$V = \frac{1}{2} \times \frac{1202}{16}$$
$$V = \frac{601}{16}$$
然而，题目给出的选项中最接近的是 $$\frac{75}{2}$$（即 $$\frac{600}{16}$$），可能是计算过程中的近似或题目选项的调整。但根据严格推导，最大值应为 $$\frac{601}{16}$$，对应选项 D 的 $$\frac{601}{8}$$ 可能有误。不过，根据题目选项，最接近的是 B 选项 $$\frac{75}{2}$$。