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正确率40.0%已知在三棱锥$$P-A B C$$中，$${{P}{A}{⊥}}$$面$${{A}{B}{C}}$$，若$$\angle B A C=6 0^{0}， \， \， \， B C=\sqrt{3}， \， \， \， P A=2 \sqrt{3}，$$则该棱锥的外接球的表面积为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{1 6} {3} \pi$$
B.$${{4}{\sqrt {3}}{π}}$$
C.$$\frac{3 2} {3} \pi$$
D.$${{1}{6}{π}}$$
2、['三视图'， '球的表面积']正确率80.0%svg异常
B
A.$${{2}{4}{π}}$$
B.$${{1}{6}{π}}$$
C.$${{1}{2}{π}}$$
D.$${{8}{π}}$$
3、['三视图'， '球的表面积']正确率60.0%svg异常
A
A.$${{5}{π}}$$
B.$${\sqrt {5}{π}}$$
C.$$\frac{5 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \sqrt{5} \pi} {6}$$
4、['与球有关的切、接问题'， '球的表面积']正确率60.0%已知长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$A B=3， \， \， \， A D=4， \， \， \， A A_{1}=5$$，则长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$外接球的表面积为（）
C
A.$${{1}{0}{0}{π}}$$
B.$${{7}{5}{π}}$$
C.$${{5}{0}{π}}$$
D.$${{2}{5}{π}}$$
5、['与球有关的切、接问题'， '立体几何中的折叠问题'， '球的表面积']正确率60.0%svg异常
B
A.$${{2}{0}{π}}$$
B.$${{2}{4}{π}}$$
C.$${{1}{6}{π}}$$
D.$${{1}{8}{π}}$$
6、['球的体积'， '与球有关的切、接问题'， '球的表面积'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率40.0%已知一个平放的各棱长均为$${{4}}$$的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮．当注入的水的体积是该三棱锥体积的$$\frac{7} {8}$$时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于（）
C
A.$$\frac{7 \pi} {6}$$
B.$$\frac{4 \pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
7、['棱柱的结构特征及其性质'， '与球有关的切、接问题'， '球的表面积']正确率60.0%已知正方体的体积是$${{6}{4}}$$，则其外接球的表面积是（）
C
A.$${{3}{2}{\sqrt {3}}{π}}$$
B.$${{1}{9}{2}{π}}$$
C.$${{4}{8}{π}}$$
D.无法确定
8、['棱锥的结构特征及其性质'， '球的体积'， '球的结构特征及其性质'， '棱柱、棱锥、棱台的体积'， '球的表面积'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%在球$${{O}}$$的内接长方体$$A B C D ~-~ A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$$中，$${{A}{B}{=}{2}}$$，若四棱锥$$O ~-~ A B C D$$的体积为$${{2}}$$，则球$${{O}}$$的半径最小为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{1}}$$
9、['与球有关的切、接问题'， '二面角'， '球的表面积'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率40.0%已知三棱锥$$P-A B C$$的所有顶点都在表面积为$${{1}{6}{π}}$$的球$${{O}}$$的球面上，$${{A}{C}}$$为球$${{O}}$$的直径，当三棱锥$$P-A B C$$的体积最大时，设二面角$$P-A B-C$$的大小为$${{θ}}$$，则$$\operatorname{s i n} \theta=$$（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{7}} {3}$$
10、['与球有关的切、接问题'， '棱锥的结构特征及其性质'， '球的表面积']正确率60.0%在三棱锥$$P-A B C$$中，$${{P}{A}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}}$$，且$${{△}{A}{B}{C}}$$为等边三角形，$$A P=A B=2$$，则三棱锥$$P-A B C$$的外接球的表面积（）
B
A.$$\frac{2 7} {2} \pi$$
B.$$\frac{2 8} {3} \pi$$
C.$$\frac{2 6} {3} \pi$$
D.$$\frac{2 5} {2} \pi$$
已知三棱锥 $$P-ABC$$ 中，$$PA \perp$$ 面 $$ABC$$，$$\angle BAC = 60^\circ$$，$$BC = \sqrt{3}$$，$$PA = 2\sqrt{3}$$，求外接球表面积。
1. 在 $$\triangle ABC$$ 中，由余弦定理：$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ$$
代入得：$$3 = AB^2 + AC^2 - AB \cdot AC$$
2. 设外接球球心为 $$O$$，半径 $$R$$。由于 $$PA \perp$$ 平面 $$ABC$$，可将三棱锥补形为长方体，外接球直径即长方体对角线。
3. 设 $$AB = x$$，$$AC = y$$，则 $$x^2 + y^2 - xy = 3$$。
4. 外接球半径公式：$$R = \frac{1}{2} \sqrt{PA^2 + AB^2 + AC^2}$$
即 $$R = \frac{1}{2} \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + x^2 + y^2} = \frac{1}{2} \sqrt{12 + x^2 + y^2}$$
5. 由 $$x^2 + y^2 = 3 + xy$$，代入得：$$R = \frac{1}{2} \sqrt{12 + 3 + xy} = \frac{1}{2} \sqrt{15 + xy}$$
6. 需最小化 $$R$$，即最小化 $$xy$$。由不等式 $$x^2 + y^2 \geq 2xy$$，代入 $$x^2 + y^2 = 3 + xy$$ 得：$$3 + xy \geq 2xy$$，即 $$xy \leq 3$$
7. 当 $$xy = 3$$ 时，$$R$$ 最小，但实际需具体值。注意 $$x^2 + y^2 - xy = 3$$，当 $$x = y$$ 时，$$3x^2 - x^2 = 2x^2 = 3$$，$$x = \sqrt{\frac{3}{2}}$$，$$xy = \frac{3}{2}$$
8. 代入 $$xy = \frac{3}{2}$$，则 $$R = \frac{1}{2} \sqrt{15 + \frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{33}{2}}$$，非整数，可能误解。
9. 重新考虑：外接球球心在过 $$\triangle ABC$$ 外心且垂直平面 $$ABC$$ 的直线上。设 $$\triangle ABC$$ 外接圆半径 $$r$$，则 $$R^2 = r^2 + \left( \frac{PA}{2} \right)^2$$
10. 由正弦定理：$$BC = 2r \sin A$$，即 $$\sqrt{3} = 2r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$，得 $$r = 1$$
11. 则 $$R^2 = 1^2 + \left( \frac{2\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 1 + 3 = 4$$，$$R = 2$$
12. 表面积 $$S = 4\pi R^2 = 16\pi$$
对应选项 D。
答案：$$16\pi$$
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