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正确率60.0%方底无盖水箱的容积为$${{2}{5}{6}{，}}$$则最省材料时，它的高为（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{4}{.}{5}}$$
D.$${{8}}$$
3、['棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积']正确率80.0%已知正方体的棱长为$${{2}}$$，则此正方体全面积是（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{2}{4}}$$
D.$${{4}{8}}$$
5、['与球有关的切、接问题'， '棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积']正确率40.0%已知三棱锥$$A-B C D$$四个顶点都在半径为$${{3}}$$的球面上，且$${{B}{C}}$$过球心，当三棱锥$$A-B C D$$的体积最大时，则三棱锥$$A-B C D$$的表面积为$${{(}{)}}$$
C
A.$$1 8+6 \sqrt{3}$$
B.$$1 8+8 \sqrt{3}$$
C.$$1 8+9 \sqrt{3}$$
D.$$1 8+1 0 \sqrt{3}$$
6、['与球有关的切、接问题'， '棱锥的结构特征及其性质'， '棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积']正确率40.0%四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体$${{.}}$$现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\frac{1} {5}$$
8、['棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积']正确率60.0%已知三棱柱的底面是边长为$${{5}}$$的等边三角形，其中一条侧棱与底面的两边都成$${{6}{0}^{∘}}$$角，侧棱长为$${{4}}$$，则三棱柱的侧面积是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{3}{0}{\sqrt {3}}}$$
B.$$5 0 ( \sqrt{3}+1 )$$
C.$$4 0 ( \sqrt{3}+1 )$$
D.$$2 0 ( \sqrt{3}+1 )$$
1. 设方底无盖水箱的底面边长为 $$x$$，高为 $$h$$，则容积为 $$x^2 h = 256$$。材料面积 $$S = x^2 + 4xh$$。将 $$h = \frac{256}{x^2}$$ 代入得 $$S = x^2 + \frac{1024}{x}$$。对 $$S$$ 求导并令导数为零：$$S' = 2x - \frac{1024}{x^2} = 0$$，解得 $$x = 8$$，进而 $$h = \frac{256}{8^2} = 4$$。最省材料时高为 $$4$$，故选 A。
3. 正方体全面积为 $$6 \times \text{单面面积} = 6 \times (2 \times 2) = 24$$，故选 C。
5. 当三棱锥 $$A-BCD$$ 体积最大时，$$A$$ 在垂直于 $$BC$$ 的直径端点处，且 $$BC$$ 为球的直径，长度为 $$6$$。设 $$A$$ 到平面 $$BCD$$ 的距离为 $$3$$，底面 $$BCD$$ 为等边三角形，边长 $$6$$，面积 $$9\sqrt{3}$$。体积最大时，表面积为 $$3 \times \frac{1}{2} \times 6 \times 3 \sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 18 + 9\sqrt{3}$$，故选 C。
6. 正四面体的内切球半径 $$r$$ 与高 $$h$$ 的关系为 $$r = \frac{h}{4}$$，故比值为 $$\frac{1}{4}$$，选 C。
8. 三棱柱的侧面积由三个矩形组成。底面边长为 $$5$$，侧棱长为 $$4$$，其中一个矩形面积为 $$5 \times 4 = 20$$，另外两个矩形由于侧棱与底面成 $$60^\circ$$ 角，其高度为 $$4 \sin 60^\circ = 2\sqrt{3}$$，面积为 $$5 \times 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$$。总侧面积为 $$20 + 2 \times 10\sqrt{3} = 20(1 + \sqrt{3})$$，故选 D。