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正确率80.0%已知圆锥的底面半径为$${{1}}$$，其侧面展开图是一个圆心角为$$\frac{2 \pi} {3}$$的扇形，则该圆锥的表面积为（）
C
A.$${{2}{π}}$$
B.$${{3}{π}}$$
C.$${{4}{π}}$$
D.$${{5}{π}}$$
2、['圆锥的结构特征及其性质'， '圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中$$A B=4， \， \， B C=3， \， \， \， A C=5，$$现以$${{A}{B}}$$边所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为（）
A
A.$${{2}{4}{π}}$$
B.$${{2}{1}{π}}$$
C.$${{3}{3}{π}}$$
D.$${{3}{9}{π}}$$
4、['旋转体和旋转体的轴'， '圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率40.0%已知直角三角形$${{A}{B}{C}}$$，其三边分为$$a， \， b， \， c \; ( \ a > b > c )$$．分别以三角形的$${{a}}$$边，$${{b}}$$边，$${{c}}$$边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为$$S_{1}， \ S_{2}， \ S_{3}$$和$$V_{1} \，， \， \， V_{2} \，， \， \， V_{3}$$．则它们的关系为（）
C
A.$$S_{1} > S_{2} > S_{3}， \， \， \， V_{1} > V_{2} > V_{3}$$
B.$$S_{1} > S_{2} > S_{3}， \， \， \， V_{1}=V_{2}=V_{3}$$
C.$$S_{1} < S_{2} < S_{3}， \， \， \， V_{1} < V_{2} < V_{3}$$
D.$$S_{1} < S_{2} < S_{3}， \， \， \， V_{1}=V_{2}=V_{3}$$
7、['与球有关的切、接问题'， '圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积'， '球的表面积']正确率60.0%已知一个圆锥的侧面积是底面积的$${{2}}$$倍，记该圆锥的内切球的表面积为$${{S}_{1}}$$，外接球的表面积为$${{S}_{2}}$$，则$$\frac{S_{1}} {S_{2}}$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}{∶}{2}}$$
B.$${{1}{∶}{3}}$$
C.$${{1}{∶}{4}}$$
D.$${{1}{∶}{8}}$$
8、['圆柱的结构特征及其性质'， '旋转体和旋转体的轴'， '球的结构特征及其性质'， '圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积'， '球的表面积']正确率60.0%已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}{:}{1}}$$
B.$${{5}{:}{4}}$$
C.$${{4}{:}{3}}$$
D.$${{3}{:}{2}}$$
9、['圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积']正确率60.0%若圆台的上、下底面半径分别是$${{1}}$$和$${{3}{，}}$$它的侧面积是两底面面积之和的$${{2}}$$倍，则圆台的母线长是（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{.}{5}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{1}{0}}$$
1. 圆锥的表面积计算：
已知圆锥底面半径 $$r = 1$$，侧面展开图是圆心角为 $$\frac{2\pi}{3}$$ 的扇形。扇形弧长等于圆锥底面周长：
$$2\pi r = l \cdot \frac{2\pi}{3}$$
解得母线长 $$l = 3$$。
圆锥的表面积包括底面积和侧面积：
$$S = \pi r^2 + \pi r l = \pi \times 1^2 + \pi \times 1 \times 3 = 4\pi$$
答案为 $$C$$。
2. 旋转几何体的表面积计算：
$$△ABC$$ 是直角三角形，$$AB=4$$，$$BC=3$$，$$AC=5$$。以 $$AB$$ 为轴旋转一周，形成圆锥的组合体。
旋转后，$$BC$$ 形成圆锥的底面半径 $$r = 3$$，高 $$h = 4$$，母线 $$l = 5$$。
表面积包括圆锥的侧面积和底面积：
$$S = \pi r l + \pi r^2 = \pi \times 3 \times 5 + \pi \times 3^2 = 15\pi + 9\pi = 24\pi$$
答案为 $$A$$。
4. 旋转几何体的表面积和体积关系：
直角三角形旋转时，表面积与旋转轴的选择有关：
以长边 $$a$$ 为轴旋转时，表面积最小；以短边 $$c$$ 为轴旋转时，表面积最大。因此 $$S_1 < S_2 < S_3$$。
体积由旋转半径和高度决定，三者体积相等：$$V_1 = V_2 = V_3$$。
答案为 $$D$$。
7. 圆锥内切球与外接球的表面积比：
设圆锥底面半径 $$r$$，母线 $$l$$，高 $$h$$。由题意侧面积是底面积的 2 倍：
$$\pi r l = 2 \pi r^2 \Rightarrow l = 2r$$
圆锥的高 $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{3}r$$。
内切球半径 $$R_1$$ 和外接球半径 $$R_2$$ 满足：
$$\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$$
表面积比为 $$\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$。
答案为 $$C$$。
8. 圆柱与球的表面积比：
设圆柱的高 $$h$$，球的直径 $$d = h$$。
圆柱轴截面是正方形，故底面半径 $$r = \frac{h}{2}$$。
圆柱表面积：
$$S_{\text{圆柱}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi \times \frac{h}{2} \times h + 2\pi \times \left(\frac{h}{2}\right)^2 = \pi h^2 + \frac{\pi h^2}{2} = \frac{3\pi h^2}{2}$$
球的表面积：
$$S_{\text{球}} = 4\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi h^2$$
比值为 $$\frac{3}{2}$$。
答案为 $$D$$。
9. 圆台的母线长计算：
圆台上底面半径 $$r_1 = 1$$，下底面半径 $$r_2 = 3$$。
侧面积是两底面面积之和的 2 倍：
$$\pi (r_1 + r_2) l = 2(\pi r_1^2 + \pi r_2^2)$$
代入数值：
$$\pi (1 + 3) l = 2(\pi \times 1 + \pi \times 9) \Rightarrow 4\pi l = 20\pi \Rightarrow l = 5$$
答案为 $$C$$。