1、['圆锥的结构特征及其性质'， '圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率60.0%甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为$${{2}{π}{，}}$$侧面积分别为$$S_{\oplus}， \ S_{\mathtt{Z}}$$，体积分别为$$V_{\oplus} \，， \， V_{\mathrm{Z}}$$，若$$\frac{S_{\mathrm{\#}}} {S_{\mathrm{z}}}=2，$$则$$\frac{V_{\mp}} {V_{\zeta}}=$$（）
B
A.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
B.$$\frac{4 \sqrt{1 0}} {5}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{1 0}} {5}$$
D.$$\frac{5 \sqrt{1 0}} {6}$$
2、['球的体积'， '立体几何中的数学文化'， '棱柱、棱锥、棱台的体积'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率60.0%已知体积公式$${{V}{=}{k}{{D}^{3}}}$$中的常数$${{k}}$$称为“立圆率”.对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)、正方体、球体均可利用公式$${{V}{=}{k}{{D}^{3}}}$$求体积(在等边圆柱中$${，{D}}$$表示底面圆的直径；在正方体中$${，{D}}$$表示棱长；在球体中$${，{D}}$$表示直径).假设运用此体积公式求得等边圆柱(底面圆的直径为$${{a}{)}}$$、正方体(棱长为$${{a}{)}}$$、球(直径为$${{a}{)}}$$的“立圆率”分别为$${{k}_{1}{，}{{k}_{2}}{，}{{k}_{3}}{，}}$$则（）
C
A.$${{k}_{1}{<}{{k}_{3}}{<}{{k}_{2}}}$$
B.$${{k}_{3}{<}{{k}_{2}}{<}{{k}_{1}}}$$
C.$${{k}_{3}{<}{{k}_{1}}{<}{{k}_{2}}}$$
D.$${{k}_{1}{<}{{k}_{2}}{<}{{k}_{3}}}$$
3、['球的体积'， '与球有关的切、接问题'， '旋转体的展开图'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率40.0%把圆心角为$$\frac{2} {3} \pi$$的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（）
C
A.$$\frac{2 4 3} {2 5 6}$$
B.$${\frac{1 2 8} {2 4 3}}$$
C.$$\frac{1 2 8} {7 2 9}$$
D.$$\frac{2 5 6} {7 2 9}$$
4、['圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率80.0%已知某圆柱的高为$${{1}{0}}$$，底面周长为$${{8}{π}}$$，则该圆柱的体积为（）
C
A.$${{6}{4}{0}{π}}$$
B.$${{2}{5}{0}{π}}$$
C.$${{1}{6}{0}{π}}$$
D.$${{1}{2}{0}{π}}$$
6、['圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积'， '圆柱、圆锥、圆台的体积'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%一个圆锥的体积为$$\frac{\pi} {6}，$$当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为（）
D
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
7、['立体几何中的数学文化'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率60.0%我国古代某著作中有“天池盆测雨”问题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九尺，则该处的平地降雨量(盆中积水体积与盆口面积的比值)为（）
注：一尺等于$${{1}{0}}$$寸.
A
A.$${{3}}$$寸
B.$${{4}}$$寸
C.$$\frac{2 3 7} {4 9}$$寸
D.$$\frac{4 7 4} {4 9}$$寸
8、['祖暅原理及其应用'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率60.0%我国齐梁时代的数学家祖暅提出了著名的原理：$${{“}}$$幂势既同，则积不容异$${{”}}$$，这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等现将曲线$$\frac{x^{2}} {3 6}+\frac{y^{2}} {4 8}=1$$绕$${{y}}$$轴旋转一周得到的几何体叫做椭球体，记为$${{G}_{1}}$$；从一个底面半径为$${{R}{=}{6}}$$，高为$${{4}{\sqrt {3}}}$$的圆柱$${{O}_{2}{{O}_{1}}}$$中挖掉一个底面半径为$${{R}{=}{6}}$$，高为$${{4}{\sqrt {3}}}$$的倒立圆锥$${{O}{1}{O}{2}}$$，得到几何体$${{G}_{2}}$$(如图所示） 根据祖暅原理，通过考察$${{G}{2}}$$可以得到$${{G}{1}}$$的体积，则$${{G}{1}}$$的体积是$${}$$
D
A.$${{4}{8}{\sqrt {3}}{π}}$$
B.$${{7}{2}{\sqrt {3}}{π}}$$
C.$${{9}{6}{\sqrt {3}}{π}}$$
D.$${{1}{9}{2}{\sqrt {3}}{π}}$$
1. 解析：
设甲、乙两个圆锥的底面积均为 $$S$$，底面半径均为 $$r$$。侧面展开图的圆心角分别为 $$\theta_1$$ 和 $$\theta_2$$，母线长分别为 $$l_1$$ 和 $$l_2$$。根据题意：
$$\theta_1 + \theta_2 = 2\pi$$
侧面积公式为：
$$S_{\oplus} = \frac{1}{2} \theta_1 l_1^2, \quad S_{\mathrm{Z}} = \frac{1}{2} \theta_2 l_2^2$$
由 $$\frac{S_{\oplus}}{S_{\mathrm{Z}}} = 2$$，得：
$$\frac{\theta_1 l_1^2}{\theta_2 l_2^2} = 2$$
圆锥的底面周长与展开图弧长相等：
$$2\pi r = \theta_1 l_1 = \theta_2 l_2$$
设 $$\theta_1 = 2\pi - \theta_2$$，代入上式得：
$$\frac{(2\pi - \theta_2) l_1^2}{\theta_2 l_2^2} = 2$$
又因为 $$2\pi r = \theta_2 l_2$$，所以 $$l_2 = \frac{2\pi r}{\theta_2}$$，同理 $$l_1 = \frac{2\pi r}{2\pi - \theta_2}$$。
将 $$l_1$$ 和 $$l_2$$ 代入侧面积比式：
$$\frac{(2\pi - \theta_2) \left(\frac{2\pi r}{2\pi - \theta_2}\right)^2}{\theta_2 \left(\frac{2\pi r}{\theta_2}\right)^2} = 2$$
化简得：
$$\frac{4\pi^2 r^2 / (2\pi - \theta_2)}{4\pi^2 r^2 / \theta_2} = 2 \Rightarrow \frac{\theta_2}{2\pi - \theta_2} = 2$$
解得 $$\theta_2 = \frac{4\pi}{3}$$，$$\theta_1 = \frac{2\pi}{3}$$。
进一步计算母线长：
$$l_1 = \frac{2\pi r}{\theta_1} = 3r, \quad l_2 = \frac{2\pi r}{\theta_2} = \frac{3}{2}r$$
圆锥的高分别为：
$$h_1 = \sqrt{l_1^2 - r^2} = \sqrt{9r^2 - r^2} = 2\sqrt{2}r$$
$$h_2 = \sqrt{l_2^2 - r^2} = \sqrt{\frac{9}{4}r^2 - r^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}r$$
体积比为：
$$\frac{V_{\oplus}}{V_{\mathrm{Z}}} = \frac{\frac{1}{3} S h_1}{\frac{1}{3} S h_2} = \frac{h_1}{h_2} = \frac{2\sqrt{2}r}{\frac{\sqrt{5}}{2}r} = \frac{4\sqrt{10}}{5}$$
故选 B。
2. 解析：
计算各几何体的体积和“立圆率”：
- 等边圆柱（直径 $$D = a$$，高 $$h = a$$）：
$$V_1 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 \cdot a = \frac{\pi a^3}{4}$$
“立圆率” $$k_1 = \frac{V_1}{a^3} = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$$
- 正方体（棱长 $$D = a$$）：
$$V_2 = a^3$$
“立圆率” $$k_2 = \frac{V_2}{a^3} = 1$$
- 球体（直径 $$D = a$$）：
$$V_3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{\pi a^3}{6}$$
“立圆率” $$k_3 = \frac{V_3}{a^3} = \frac{\pi}{6} \approx 0.523$$
比较得 $$k_3 < k_1 < k_2$$，故选 C。
3. 解析：
设扇形半径为 $$R$$，弧长为 $$L = \frac{2}{3}\pi R$$。围成圆锥后，底面周长等于弧长：
$$2\pi r = \frac{2}{3}\pi R \Rightarrow r = \frac{R}{3}$$
圆锥的高：
$$h = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{R^2 - \left(\frac{R}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}R$$
圆锥体积：
$$V_{\text{圆锥}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}R = \frac{2\sqrt{2}}{81}\pi R^3$$
外接球半径通过勾股定理求得：
$$\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}R - b\right)^2 + \left(\frac{R}{3}\right)^2 = b^2$$
解得 $$b = \frac{3\sqrt{2}}{8}R$$，故外接球体积：
$$V_{\text{球}} = \frac{4}{3} \pi b^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{3\sqrt{2}}{8}R\right)^3 = \frac{9\sqrt{2}}{128}\pi R^3$$
体积比为：
$$\frac{V_{\text{圆锥}}}{V_{\text{球}}} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{81}}{\frac{9\sqrt{2}}{128}} = \frac{256}{729}$$
故选 D。
4. 解析：
圆柱的底面周长为 $$8\pi$$，故半径：
$$r = \frac{8\pi}{2\pi} = 4$$
圆柱的高为 $$10$$，体积为：
$$V = \pi r^2 h = \pi \times 4^2 \times 10 = 160\pi$$
故选 C。
6. 解析：
设圆锥底面半径为 $$r$$，高为 $$h$$，母线为 $$l$$。体积为：
$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{\pi}{6} \Rightarrow r^2 h = \frac{1}{2}$$
侧面积为：
$$S = \pi r l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$$
为最小化 $$S$$，固定 $$r^2 h = \frac{1}{2}$$，用拉格朗日乘数法或代数法求解极值。设 $$h = k r$$，代入：
$$r^2 (k r) = \frac{1}{2} \Rightarrow r = \left(\frac{1}{2k}\right)^{1/3}$$
侧面积表达式为：
$$S = \pi r \sqrt{r^2 + k^2 r^2} = \pi r^2 \sqrt{1 + k^2} = \pi \left(\frac{1}{2k}\right)^{2/3} \sqrt{1 + k^2}$$
对 $$S$$ 关于 $$k$$ 求导并令导数为零，解得 $$k = \sqrt{2}$$。此时：
$$\tan \theta = \frac{h}{r} = k = \sqrt{2}$$
故选 D。
7. 解析：
圆台盆口半径 $$R = \frac{28}{2} = 14$$ 寸，盆底半径 $$r = \frac{12}{2} = 6$$ 寸，盆深 $$H = 18$$ 寸。水深 $$h = 9$$ 寸时，水面半径按比例计算：
$$R' = r + \frac{h}{H}(R - r) = 6 + \frac{9}{18} \times 8 = 10$$ 寸
积水体积为圆台体积：
$$V = \frac{1}{3} \pi h (R'^2 + R' r + r^2) = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times (100 + 60 + 36) = 588\pi$$
盆口面积：
$$A = \pi R^2 = 196\pi$$
平地降雨量为：
$$\frac{V}{A} = \frac{588\pi}{196\pi} = 3$$ 寸
故选 A。
8. 解析：
根据祖暅原理，$$G_1$$ 的体积等于圆柱挖去圆锥后的体积：
圆柱体积：
$$V_{\text{圆柱}} = \pi R^2 h = \pi \times 6^2 \times 4\sqrt{3} = 144\sqrt{3}\pi$$
圆锥体积：
$$V_{\text{圆锥}} = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 6^2 \times 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}\pi$$
$$G_2$$ 的体积：
$$V_{G_2} = V_{\text{圆柱}} - V_{\text{圆锥}} = 96\sqrt{3}\pi$$
故 $$G_1$$ 的体积为 $$96\sqrt{3}\pi$$，选 C。
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