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正确率60.0%某直棱柱的底面为正方形，它的底面对角线长为$${\sqrt {2}{，}}$$体对角线长为$${\sqrt {6}{，}}$$则这个棱柱的侧面积是（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{8}}$$
7、['棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积']正确率60.0%各棱长均为$${{a}}$$的三棱锥的表面积为（）
D
A.$${{4}{\sqrt {3}}{{a}^{2}}}$$
B.$${{3}{\sqrt {3}}{{a}^{2}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}{{a}^{2}}}$$
D.$${\sqrt {3}{{a}^{2}}}$$
8、['与球有关的切、接问题'， '球的表面积'， '棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积']正确率60.0%若一个正四面体的表面积为$${{S}_{1}}$$，其内切球的表面积为$${{S}_{2}}$$，则$$\frac{S_{1}} {S_{2}}=$$（）
D
A.$$\frac{6} {\pi}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {\pi}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{1} {6 \pi}$$
D.$$\frac{6 \sqrt{3}} {\pi}$$
10、['与球有关的切、接问题'， '球的表面积'， '棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%以$${{A}}$$为顶点的三棱锥$$A-B C D$$，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为$${{8}{π}}$$，则以$${{A}}$$为顶点，以面$${{B}{C}{D}}$$为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
1. 解析：
直棱柱的底面为正方形，设底面边长为$$a$$，则底面对角线长为$$a\sqrt{2}$$。根据题意：
$$a\sqrt{2} = \sqrt{2} \Rightarrow a = 1$$
设棱柱的高为$$h$$，体对角线长为$$\sqrt{a^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{6}$$，代入$$a = 1$$：
$$\sqrt{1 + 1 + h^2} = \sqrt{6} \Rightarrow h^2 = 4 \Rightarrow h = 2$$
侧面积为底面周长乘以高：
$$4a \times h = 4 \times 1 \times 2 = 4$$
故选 B。
7. 解析：
三棱锥的四个面均为边长为$$a$$的正三角形，每个面的面积为：
$$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$
总表面积为：
$$4 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \sqrt{3}a^2$$
故选 D。
8. 解析：
设正四面体的棱长为$$a$$，表面积为：
$$S_1 = \sqrt{3}a^2$$
正四面体的高为：
$$h = \frac{\sqrt{6}}{3}a$$
内切球半径$$r$$与高的关系为：
$$r = \frac{h}{4} = \frac{\sqrt{6}}{12}a$$
内切球的表面积为：
$$S_2 = 4\pi r^2 = 4\pi \left(\frac{\sqrt{6}}{12}a\right)^2 = \frac{\pi a^2}{6}$$
因此：
$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\sqrt{3}a^2}{\frac{\pi a^2}{6}} = \frac{6\sqrt{3}}{\pi}$$
故选 D。
10. 解析：
设三棱锥$$A-BCD$$的三条侧棱两两垂直，长度分别为$$x$$、$$y$$、$$z$$。外接球的表面积为$$8\pi$$，则半径$$R$$满足：
$$4\pi R^2 = 8\pi \Rightarrow R = \sqrt{2}$$
外接球半径与侧棱的关系为：
$$R = \frac{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}{2} \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 8$$
三棱锥的侧面积之和为：
$$\frac{xy}{2} + \frac{xz}{2} + \frac{yz}{2} = \frac{xy + xz + yz}{2}$$
由不等式$$(x + y + z)^2 \leq 3(x^2 + y^2 + z^2) = 24$$，得：
$$x + y + z \leq 2\sqrt{6}$$
又$$xy + xz + yz$$的最大值在$$x = y = z$$时取得，此时：
$$x = y = z = \frac{2\sqrt{6}}{3}$$
$$xy + xz + yz = 3 \left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^2 = 8$$
因此侧面积之和的最大值为：
$$\frac{8}{2} = 4$$
故选 B。