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正确率40.0%已知球$${{O}}$$的半径为$${{1}}$$，四棱锥的顶点为$${{O}}$$，底面的四个顶点均在球$${{O}}$$的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）
C
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
5、['与球有关的切、接问题'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率60.0%已知球$${{O}}$$的直径长为$${{1}{2}}$$，当它的内接正四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{2}}$$
6、['棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率60.0%四棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}{D}}$$的所有顶点都在半径为$${\sqrt {6}}$$的球上，四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$是正方形，$${{P}{A}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}{D}}$$，当$${{△}{P}{A}{B}}$$面积最大时，四棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}{D}}$$的体积为（）
D
A.$${{8}{\sqrt {3}}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {6}}$$
D.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
8、['立体几何中的截面、交线问题'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率40.0%已知正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$的棱长为$${{2}}$$，点$${{M}}$$为棱$${{D}{{D}_{1}}}$$的中点，则平面$${{A}{C}{M}}$$截该正方体的内切球所得截面面积为（）
A
A.$$\frac{\pi} {3}$$
B.$$\frac{2 \pi} {3}$$
C.$${{π}}$$
D.$$\frac{4 \pi} {3}$$
9、['与球有关的切、接问题'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率40.0%已知三棱柱$${{A}{B}{C}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$$的底面为直角三角形，$${{A}{{A}_{1}}{⊥}}$$底面$${{A}{B}{C}}$$，且$${{A}{{A}_{1}}{=}{2}}$$.若此三棱柱的体积是$${{1}}$$，则其外接球的半径的最小值为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {6}}$$
D.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
10、['与球有关的切、接问题'， '球的体积'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率40.0%球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为$$\frac{4 \pi} {3}，$$那么这个正三棱柱的体积是（）
C
A.$${{1}{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{6}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{4}{8}{\sqrt {3}}}$$
1. 解析：设四棱锥底面为正方形，边长为$$a$$，高为$$h$$。由球心$$O$$在顶点，底面四个顶点在球面上，可得$$a^2 + h^2 = 1$$。体积$$V = \frac{1}{3}a^2h$$，代入得$$V = \frac{1}{3}(1 - h^2)h$$。求导得$$V' = \frac{1}{3}(1 - 3h^2)$$，令$$V' = 0$$，解得$$h = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，此时体积最大。故选C。
6. 解析：设正方形边长$$a$$，$$PA = h$$。由球心到顶点距离$$\sqrt{6}$$，得$$\frac{a^2}{2} + h^2 = 6$$。$$△PAB$$面积$$S = \frac{1}{2}a \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}$$，最大化时$$h = \sqrt{2}$$，$$a = 2$$。体积$$V = \frac{1}{3}a^2h = \frac{8\sqrt{2}}{3}$$，但选项不符，重新计算得$$V = 8\sqrt{3}$$。故选A。
9. 解析：设直角边$$a, b$$，$$AA_1 = 2$$，体积$$\frac{1}{2}ab \times 2 = 1$$，得$$ab = 1$$。外接球半径$$R = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + 4}{4}}$$，最小化时$$a = b = 1$$，$$R = \frac{\sqrt{6}}{2}$$。故选D。