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正确率80.0%在三棱锥$$P-A B C$$中，$$P A=P B=P C=2 \sqrt{3}$$，$$A B=A C=B C=3$$，则三棱锥$$P-A B C$$的外接球的表面积是$${{(}{)}}$$
A.$${{9}{π}}$$
B.$${{1}{6}{π}}$$
C.$${{4}{π}}$$
D.$$\frac{2 5} {4} \pi$$
2、['球的体积']正确率80.0%一个圆锥的侧面展开图是半径为$${{2}}$$的半圆，则此圆锥内切球的体积是$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{4 \pi} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{3} \pi} {3}$$
C.$${{3}{π}}$$
D.$$\frac{4 \sqrt{3} \pi} {2 7}$$
3、['球的体积'， '与球有关的切、接问题'， '球的结构特征及其性质']正确率40.0%设$$A， ~ B， ~ C， ~ D$$是同一半径为$${{2}}$$的球的球面上四点，$${{△}{A}{B}{C}}$$为等边三角形且其面积为$$\frac{9 \sqrt{3}} {4}$$则三棱锥$$D-A B C$$体积的最大值为
D
A.$${{1}{8}{\sqrt {3}}}$$
B.$$\frac{9 \sqrt3} {8}$$
C.$${{9}{\sqrt {3}}}$$
D.$$\frac{9 \sqrt{3}} {4}$$
4、['旋转体和旋转体的轴'， '圆锥的结构特征及其性质'， '球的体积'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率60.0%svg异常
A
A.$${{1}{:}{1}}$$
B.$${{2}{:}{1}}$$
C.$${{π}{:}{2}}$$
D.$${{π}{:}{3}}$$
5、['球的体积'， '球的表面积']正确率60.0%两球的体积之比为$${{8}{:}{1}}$$，则它们的表面积之比为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{8}{:}{1}}$$
B.$${{4}{:}{1}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}{:}{1}}$$
D.$${{2}{:}{1}}$$
6、['棱柱的结构特征及其性质'， '与球有关的切、接问题'， '球的体积']正确率40.0%已知直四棱柱的底面是边长为$${{2}}$$的正方形，侧棱长为$${{4}}$$，则该直四棱柱外接球的体积为（）
D
A.$${{2}{4}{π}}$$
B.$${{6}{π}}$$
C.$${{6}{4}{\sqrt {6}}{π}}$$
D.$${{8}{\sqrt {6}}{π}}$$
7、['球的体积'， '棱锥的结构特征及其性质'， '与球有关的切、接问题'， '球的表面积'， '棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积']正确率40.0%在三棱锥$$A-B C D$$中，侧棱$$A B， ~ A C， ~ A D$$两两垂直，$$\triangle A B C， \ \triangle A C D， \ \triangle A B D$$的面积分别为$$2 \sqrt{2}， ~ 2 \sqrt{3}， ~ 2 \sqrt{6}$$，则三棱锥$$A-B C D$$的外接球的体积为（）
D
A.$${{2}{4}{\sqrt {6}}{π}}$$
B.$${{2}{4}{π}}$$
C.$${{8}{π}}$$
D.$${{8}{\sqrt {6}}{π}}$$
8、['球的体积'， '球的结构特征及其性质']正确率40.0%svg异常
D
A.$$\frac{\sqrt6} {2}+\frac3 2$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{\sqrt2} 2+\frac3 2$$
D.$$\frac{\sqrt3} 2+\frac3 2$$
9、['球的体积'， '与球有关的切、接问题']正确率60.0%长方体的长，宽，高分别为$$a， ~ 2 a， ~ 2 a$$它的顶点都在球面上，则这个球的体积是（）
C
A.$$\frac{2 7 \pi a^{3}} {8}$$
B.$$\frac{2 7 \pi a^{3}} {2}$$
C.$$\frac{9 \pi a^{3}} {2}$$
D.$$\frac{9 \pi a^{3}} {8}$$
10、['球的体积'， '与球有关的切、接问题'， '棱锥的结构特征及其性质'， '立体几何中的折叠问题'， '二面角']正确率40.0%四边形$${{A}{B}{D}{C}}$$是菱形，$$\angle B A C=6 0^{\circ}， \; \; A B=\sqrt{3}$$，沿对角线$${{B}{C}}$$翻折后，二面角$$A-B C-D$$的余弦值为$$- \frac{1} {3}$$，则三棱锥$$D-A B C$$的外接球的体积为（）
B
A.$${\sqrt {5}{π}}$$
B.$${\sqrt {6}{π}}$$
C.$${\sqrt {7}{π}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}{π}}$$
1、三棱锥的外接球表面积
三棱锥 $$P-ABC$$ 的底面 $$ABC$$ 是边长为 3 的正三角形，侧棱 $$PA=PB=PC=2\sqrt{3}$$。设外接球半径为 $$R$$，球心 $$O$$ 在底面 $$ABC$$ 的高线上方。先计算底面外接圆半径 $$r = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$，高 $$h = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = 3$$。根据勾股定理，$$R^2 = r^2 + (h - R)^2$$，解得 $$R = \frac{3}{2}$$。表面积为 $$4\pi R^2 = 9\pi$$，故选 A。
2、圆锥内切球的体积
圆锥侧面展开图是半径为 2 的半圆，母线 $$l=2$$，弧长 $$\pi l = 2\pi$$ 即为底面周长，故底面半径 $$r=1$$。圆锥高 $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{3}$$。内切球半径 $$R$$ 满足 $$\frac{R}{\sqrt{3} - R} = \frac{1}{2}$$，解得 $$R = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。体积为 $$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4\sqrt{3}\pi}{27}$$，故选 D。
3、三棱锥体积的最大值
球半径 $$R=2$$，等边三角形 $$ABC$$ 面积为 $$\frac{9\sqrt{3}}{4}$$，边长 $$a=3$$，外接圆半径 $$r = \sqrt{3}$$。三棱锥 $$D-ABC$$ 体积最大时，$$D$$ 在球心对面，高 $$H = R + \sqrt{R^2 - r^2} = 2 + 1 = 3$$。体积为 $$\frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{3}}{4} \times 3 = \frac{9\sqrt{3}}{4}$$，故选 D。
5、两球表面积之比
体积比 $$8:1$$，半径比 $$2:1$$，表面积比 $$4:1$$，故选 B。
6、直四棱柱外接球的体积
直四棱柱对角线长为 $$\sqrt{2^2 + 2^2 + 4^2} = 2\sqrt{6}$$，外接球半径 $$R = \sqrt{6}$$。体积为 $$\frac{4}{3}\pi R^3 = 8\sqrt{6}\pi$$，故选 D。
7、三棱锥外接球的体积
设 $$AB=x$$，$$AC=y$$，$$AD=z$$，由面积条件得 $$\frac{xy}{2}=2\sqrt{2}$$，$$\frac{yz}{2}=2\sqrt{3}$$，$$\frac{xz}{2}=2\sqrt{6}$$，解得 $$x=2\sqrt{2}$$，$$y=2$$，$$z=2\sqrt{3}$$。外接球半径 $$R = \frac{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}{2} = \sqrt{6}$$，体积为 $$8\sqrt{6}\pi$$，故选 D。
9、长方体外接球的体积
长方体对角线长为 $$\sqrt{a^2 + (2a)^2 + (2a)^2} = 3a$$，外接球半径 $$R = \frac{3a}{2}$$。体积为 $$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{27\pi a^3}{2}$$，故选 B。
10、三棱锥外接球的体积
菱形 $$ABDC$$ 中，$$AB=\sqrt{3}$$，$$\angle BAC=60^\circ$$，翻折后二面角余弦为 $$-\frac{1}{3}$$。计算得 $$BC=2$$，利用空间几何关系求得外接球半径 $$R = \frac{\sqrt{6}}{2}$$，体积为 $$\sqrt{6}\pi$$，故选 B。