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正确率60.0%svg异常
A
A.$${\frac{1 6} {3}} \mathrm{c m}$$
B.$$\frac{3 2} {3} \mathrm{c m}$$
C.$${{1}{6}{{c}{m}}}$$
D.$${{3}{2}{{c}{m}}}$$
2、['圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率40.0%已知正三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$的底面边长为$$2， ~ P， ~ M， ~ N$$分别是三侧棱$$A A_{1}， ~ B B_{1}， ~ C C_{1}$$上的点，它们到平面$${{A}{B}{C}}$$的距离分别是$$1， ~ 2， ~ 3$$，正三棱柱$$A B C-A_{1} B_{l} C_{1}$$被平面$${{P}{M}{N}}$$分成两个相同的几何体，则其中以$$A. \， \， B. \， \， C. \， \， P. \， \， M. \， \， N$$为顶点的几何体的体积为（）
A
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
3、['球的体积'， '三视图'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率60.0%svg异常
D
A.$${{2}{π}}$$
B.$${{4}{π}}$$
C.$$\frac{2} {3} \pi$$
D.$$\frac{4} {3} \pi$$
4、['圆锥的结构特征及其性质'， '与球有关的切、接问题'， '立体几何中的数学文化'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率60.0%我国古代数学名著$${《}$$张邱建算经$${》}$$中有如下问题：$${{“}}$$今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？$${{”}}$$意思是：现在有粟米$${{2}{5}{0}}$$斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为$${{5}}$$丈$${{4}}$$尺，则谷堆的高为多少？$${{(}}$$注：$${{1}}$$斛$${{≈}{{1}{.}{6}{2}}}$$立方尺，$${{π}}$$取$${{3}{)}}$$若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径为（）
D
A.$${{5}}$$尺
B.$${{9}}$$尺
C.$${{1}{0}{.}{6}}$$尺
D.$${{2}{1}{.}{2}}$$尺
5、['与球有关的切、接问题'， '圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积'， '三视图'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率60.0%svg异常
A
A.$${{9}{\sqrt {{1}{0}}}{π}}$$
B.$${{1}{2}{\sqrt {{1}{1}}}{π}}$$
C.$${{1}{0}{\sqrt {{1}{7}}}{π}}$$
D.$$\frac{4 0 \sqrt{3} \pi} {3}$$
6、['异面直线所成的角'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率60.0%svg异常
B
A.$$\frac{\sqrt{3 3}} {1 1}$$
B.$$\frac{3 \sqrt{1 1}} {1 1}$$
C.$$\frac{\sqrt{2 2}} {1 1}$$
D.$$\frac{\sqrt2} 3$$
7、['圆锥的结构特征及其性质'， '圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率60.0%若圆锥的高等于底面直径，侧面积为$$\sqrt{5} \pi，$$则该圆锥的体积为（）
B
A.$$\frac{1} {3} \pi$$
B.$$\frac{2} {3} \pi$$
C.$${{2}{π}}$$
D.$$\frac{1 6} {3} \pi$$
8、['球的体积'， '与球有关的切、接问题'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率40.0%圆锥$${{S}{O}{（}}$$其中$${{S}}$$为顶点，$${{O}}$$为底面圆心）的侧面积与底面积的比是$${{2}{：}{1}}$$．则圆锥$${{S}{O}}$$与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（）
A
A.$${{9}{：}{{3}{2}}}$$
B.$${{8}{：}{{2}{7}}}$$
C.$${{9}{：}{{2}{2}}}$$
D.$${{9}{：}{{2}{8}}}$$
9、['圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率60.0%我国数学史上有一部被尊为算经之首的$${《}$$九章算术$${》}$$齐卷五$${《}$$商功$${》}$$中有如下问题：今有圆堡墙，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？意思是：今有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是$${{4}}$$丈$${{8}}$$尺，高$${{1}}$$丈$${{1}}$$尺，问它的体积多少？（注：$${{1}}$$丈$${{=}{{1}{0}}}$$尺）若$${{π}}$$取$${{3}}$$，估算小城堡的体积为（）
C
A.$${{1}{9}{9}{8}}$$立方尺
B.$${{2}{0}{1}{2}}$$立方尺
C.$${{2}{1}{1}{2}}$$立方尺
D.$${{2}{3}{2}{4}}$$立方尺
10、['利用导数解决实际应用问题'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率40.0%用半径为$${{R}}$$的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该内接矩形的两边长之比为$${{(}{)}}$$
A
A.$${\sqrt {2}}$$或$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$${\sqrt {3}}$$或$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$或$$\frac{1} {2}$$
以下是各题的详细解析：
第2题解析：
1. 正三棱柱的底面积 $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3}$$。
2. 几何体的体积可以看作一个棱台减去两个小棱锥。由于对称性，几何体的体积为原三棱柱体积的一半。
3. 原三棱柱的高为 $$1 + 3 = 4$$（因为 $$P, M, N$$ 到平面的距离分别为 $$1, 2, 3$$，且 $$M$$ 是中点）。
4. 原体积 $$V = \sqrt{3} \times 4 = 4\sqrt{3}$$，一半为 $$2\sqrt{3}$$。
正确答案：$$A. 2\sqrt{3}$$。
第4题解析：
1. 圆锥底面周长 $$C = 54$$ 尺，半径 $$r = \frac{C}{2\pi} = \frac{54}{6} = 9$$ 尺。
2. 粟米体积 $$V = 250 \times 1.62 = 405$$ 立方尺。
3. 圆锥体积公式 $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$，解得 $$h = \frac{405 \times 3}{3 \times 81} = 5$$ 尺。
4. 圆锥内接于球时，球的直径等于圆锥的高与外接球半径的关系。通过几何关系计算，直径 $$D = 9$$ 尺。
正确答案：$$B. 9$$ 尺。
第7题解析：
1. 设圆锥底面半径为 $$r$$，则高 $$h = 2r$$。
2. 侧面积公式 $$S = \pi r l$$，其中母线 $$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5}r$$。
3. 由题意 $$\pi r \times \sqrt{5}r = \sqrt{5}\pi$$，解得 $$r = 1$$，$$h = 2$$。
4. 体积 $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{2}{3}\pi$$。
正确答案：$$B. \frac{2}{3}\pi$$。
第8题解析：
1. 设圆锥底面半径为 $$r$$，母线为 $$l$$，侧面积与底面积比为 $$2:1$$，即 $$\pi r l : \pi r^2 = 2:1$$，故 $$l = 2r$$。
2. 圆锥高 $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{3}r$$。
3. 外接球半径 $$R$$ 满足 $$R = \frac{h}{2} + \frac{r^2}{2h} = \frac{\sqrt{3}r}{2} + \frac{r}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}r}{3}$$。
4. 圆锥体积 $$V_1 = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{\sqrt{3}}{3}\pi r^3$$，球体积 $$V_2 = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{32\sqrt{3}}{27}\pi r^3$$。
5. 体积比 $$V_1 : V_2 = 9 : 32$$。
正确答案：$$A. 9 : 32$$。
第9题解析：
1. 圆柱底面周长 $$C = 48$$ 尺，半径 $$r = \frac{C}{2\pi} = \frac{48}{6} = 8$$ 尺。
2. 高 $$h = 11$$ 尺。
3. 体积 $$V = \pi r^2 h = 3 \times 64 \times 11 = 2112$$ 立方尺。
正确答案：$$C. 2112$$ 立方尺。
第10题解析：
1. 设内接矩形的长为 $$2x$$，宽为 $$2y$$，则 $$x^2 + y^2 = R^2$$。
2. 圆柱体积 $$V = \pi y^2 \times 2x = 2\pi y^2 x$$。
3. 由约束条件，$$V = 2\pi y^2 \sqrt{R^2 - y^2}$$。
4. 求导并令导数为零，可得 $$y = \frac{R\sqrt{2}}{2}$$，$$x = \frac{R\sqrt{2}}{2}$$。
5. 两边长之比为 $$1 : 1$$ 或 $$2 : 1$$（取决于高与半径的选择）。
正确答案：$$D. 2$$ 或 $$\frac{1}{2}$$。