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正确率40.0%在三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，$$A B=B C=A C$$，侧棱$${{A}{{A}_{1}}{⊥}}$$底面$${{A}{B}{C}}$$，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球$${{O}}$$的表面上，且球$${{O}}$$的表面积为$${{4}{π}}$$，则该三棱柱的侧面积的最大值为$${{(}{)}}$$
A.$${{6}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{3}}$$
4、['多面体'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%某正四棱台容器两个底面边长分别为$${{2}{0}{c}{m}}$$和$${{3}{0}{c}{m}}$$，容积为$${{1}{9}}$$升，则它的高为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}{0}{c}{m}}$$
B.$${{2}{4}{c}{m}}$$
C.$${{2}{8}{c}{m}}$$
D.$${{3}{0}{c}{m}}$$
5、['旋转体及其相关概念'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为$${{4}}$$，则该圆锥的体积等于$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{8 \sqrt{3}} {3} \pi$$
B.$${{8}{\sqrt {3}}{π}}$$
C.$$\frac{1 6} {3} \pi$$
D.$${{8}{π}}$$
7、['棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%已知直角三角形三边分别是$${{3}}$$，$${{4}}$$，$${{5}}$$，对其三边进行旋转得到三个几何体，其中最大的体积为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}{2}{π}}$$
B.$${{1}{6}{π}}$$
C.$${{2}{8}{π}}$$
D.$$\frac{4 8 \pi} {5}$$
8、['旋转体及其相关概念'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%若一个圆锥的母线长为$${{2}}$$，且其侧面积为其轴截面面积的$${{4}}$$倍，则该圆锥的高为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{3} {\pi}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {\pi}} \\ \end{array}$$
10、['棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%一个正三棱柱的各棱长均为$${\sqrt {3}}$$，则该三棱柱的体积为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{9} {4}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{3}} {4}$$
3、三棱柱侧面积最大值问题
解析：
1. 由题意，三棱柱 $$ABC-A_1B_1C_1$$ 的底面 $$ABC$$ 是等边三角形，且侧棱 $$AA_1$$ 垂直底面。
2. 所有顶点都在球 $$O$$ 上，说明三棱柱的外接球存在。球的表面积为 $$4\pi$$，因此半径 $$R = 1$$。
3. 设底面边长为 $$a$$，高为 $$h$$。由于底面是等边三角形，其外接圆半径 $$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$$。
4. 三棱柱的外接球半径满足关系：$$R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$$，即 $$1 = \frac{a^2}{3} + \frac{h^2}{4}$$。
5. 侧面积 $$S = 3ah$$。利用约束条件，将 $$a^2 = 3 - \frac{3h^2}{4}$$ 代入，得到 $$S = 3h\sqrt{3 - \frac{3h^2}{4}}}$$。
6. 求极值，令导数等于零，得到 $$h = \sqrt{2}$$，此时 $$S = 3\sqrt{3}$$。
答案：$$B. 3\sqrt{3}$$
4、正四棱台容器高度问题
解析：
1. 正四棱台的体积公式为 $$V = \frac{1}{3}(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})h$$，其中 $$S_1 = 20^2 = 400$$ cm²，$$S_2 = 30^2 = 900$$ cm²。
2. 容积为 19 升，即 19000 cm³。代入公式得：$$19000 = \frac{1}{3}(400 + 900 + \sqrt{400 \times 900})h$$。
3. 计算得 $$19000 = \frac{1}{3}(1300 + 600)h$$，即 $$19000 = \frac{1900}{3}h$$。
4. 解得 $$h = 30$$ cm。
答案：$$D. 30$$ cm
5、圆锥体积问题
解析：
1. 圆锥的轴截面是正三角形，母线 $$l = 4$$，因此底面半径 $$r = 2$$，高 $$h = 2\sqrt{3}$$。
2. 圆锥的体积公式为 $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \times 4 \times 2\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\pi$$。
答案：$$A. \frac{8\sqrt{3}}{3}\pi$$
7、旋转体最大体积问题
解析：
1. 直角三角形三边为 3, 4, 5，旋转后得到三个几何体：
- 绕直角边 3 旋转：圆锥体积 $$V_1 = \frac{1}{3}\pi \times 4^2 \times 3 = 16\pi$$
- 绕直角边 4 旋转：圆锥体积 $$V_2 = \frac{1}{3}\pi \times 3^2 \times 4 = 12\pi$$
- 绕斜边 5 旋转：两个圆锥组合，体积较小。
2. 最大体积为 $$16\pi$$。
答案：$$B. 16\pi$$
8、圆锥高问题
解析：
1. 圆锥母线 $$l = 2$$，设底面半径 $$r$$，高 $$h$$。
2. 侧面积 $$S_{\text{侧}} = \pi r l = 2\pi r$$。
3. 轴截面面积 $$S_{\text{轴}} = \frac{1}{2} \times 2r \times h = r h$$。
4. 由题意 $$2\pi r = 4 r h$$，解得 $$h = \frac{\pi}{2}$$。
答案：$$C. \frac{\pi}{2}$$
10、正三棱柱体积问题
解析：
1. 正三棱柱所有棱长均为 $$\sqrt{3}$$，底面为等边三角形，面积 $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}$$。
2. 体积 $$V = S \times h = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times \sqrt{3} = \frac{9}{4}$$。
答案：$$C. \frac{9}{4}$$