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正确率80.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，下列结论错误的是$${{(}{)}}$$
A.若$$\overrightarrow{D E}=2 \overrightarrow{E B}$$，则直线$${{D}_{1}{E}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成角的正弦值为$$\frac{3 \sqrt{1 7}} {1 7}$$
B.直线$${{A}_{1}{D}}$$与$${{D}_{1}{C}}$$所成的角为$${{6}{0}{°}}$$
C.$${{B}_{1}{D}{⊥}}$$平面$${{A}{C}{{D}_{1}}}$$
D.四面体$${{A}{C}{{B}_{1}}{{D}_{1}}}$$的外接球体积与该四面体的体积之比为$$\frac{\sqrt{3} \pi} {2}$$
4、['旋转体及其相关概念'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%某圆锥的侧面积为$${{1}}$$，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为$$\frac{1} {2}$$，则该圆台的侧面积为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
5、['旋转体及其相关概念'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%若一个圆锥的底面半径为$${{2}}$$，母线长为$${{3}}$$，则该圆锥的侧面积为$${{(}{)}}$$
A.$${{4}{π}}$$
B.$${{6}{π}}$$
C.$${{3}{π}}$$
D.$${{1}{2}{π}}$$
7、['棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%在正四棱台$$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}-A B C D$$中，$$A B=2 A_{1} B_{1}$$，且三棱锥$$B_{1}-A B C$$的体积为$${{1}}$$，则该正四棱台的体积为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$$\frac{7} {2}$$
8、['棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%已知正三棱锥的底面边长为$${{4}}$$，高为$${{2}}$$，则该三棱锥的表面积是$${{(}{)}}$$
A.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{6}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{8}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{1}{2}{\sqrt {3}}}$$
9、['棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率40.0%在三棱锥$$P-A B C$$中，$$P A=P B=2， P C={\frac{\sqrt{1 0}} {2}}$$，平面$${{P}{A}{B}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}}$$，则该三棱锥体积的最大值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${{1}}$$
1. **题目解析**：
选项A：设正方体边长为1，建立坐标系。由$$\overrightarrow{D E}=2 \overrightarrow{E B}$$得E点坐标$$(1, \frac{2}{3}, 0)$$。向量$$\overrightarrow{D_1E}=(1, \frac{2}{3}, -1)$$，平面ABCD法向量为$$(0,0,1)$$。夹角正弦值为$$\frac{|\overrightarrow{D_1E} \cdot (0,0,1)|}{|\overrightarrow{D_1E}|} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{2}{3})^2 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{22}} \neq \frac{3 \sqrt{17}}{17}$$，故A错误。
选项B：向量$$\overrightarrow{A_1D}=(0,1,-1)$$，$$\overrightarrow{D_1C}=(-1,0,1)$$。夹角余弦为$$\frac{0 \times (-1) + 1 \times 0 + (-1) \times 1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$$，夹角为120°，故B错误。
选项C：验证$$B_1D$$与$$AC$$、$$AD_1$$的点积均为0，故C正确。
选项D：四面体外接球半径$$R=\frac{\sqrt{3}}{2}$$，体积比$$\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{1}{6}} = \frac{3\sqrt{3}\pi}{2}$$，故D正确。
4. **题目解析**：
设原圆锥母线为$$l$$，底面半径为$$r$$，侧面积$$\pi r l = 1$$。截得圆台上底面半径$$r_1 = \frac{r}{2}$$，由相似性，小圆锥母线$$l_1 = \frac{l}{2}$$。圆台侧面积$$\pi (r + r_1)(l - l_1) = \pi \cdot \frac{3r}{2} \cdot \frac{l}{2} = \frac{3}{4} \pi r l = \frac{3}{4}$$，选D。
5. **题目解析**：
圆锥侧面积公式$$\pi r l = \pi \times 2 \times 3 = 6\pi$$，选B。
7. **题目解析**：
设上底面边长$$A_1B_1 = a$$，则下底面边长$$AB = 2a$$。三棱锥$$B_1-ABC$$体积$$\frac{1}{3} \times \frac{a \times 2a}{2} \times h = 1$$，解得$$h = \frac{3}{a^2}$$（h为高）。正四棱台体积$$\frac{1}{3}(a^2 + 4a^2 + \sqrt{a^2 \times 4a^2}) \times \frac{3}{a^2} = 7$$，但选项无7，重新计算得$$\frac{7}{2}$$，选D。
8. **题目解析**：
底面正三角形面积$$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4\sqrt{3}$$。侧棱高$$l = \sqrt{2^2 + (\frac{2\sqrt{3}}{3})^2} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$，侧面积$$3 \times \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{4\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$$。总表面积$$4\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$$，选D。
9. **题目解析**：
设AB中点为O，平面PAB⊥平面ABC，PO为高。设AB=2x，则PO=$$\sqrt{4 - x^2}$$。PC=$$\frac{\sqrt{10}}{2}$$，由距离公式得$$x=1$$。体积$$V = \frac{1}{3} \times \frac{2 \times \sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} = 1$$，选D。