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正确率80.0%将表面积$${{4}{8}{π}}$$的圆锥沿母线将侧面展开，得到一个圆心角为$$\frac{2 \pi} {3}$$的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}{8}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{1}{8}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}{4}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{2}{4}{\sqrt {3}}}$$
2、['旋转体及其相关概念'， '平面与平面垂直的判定定理'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%将半径为$${{R}}$$的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是$${{(}{)}}$$
A.$${\frac{\sqrt5} {2 4}} \pi R^{3}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {8} \pi R^{3}$$
C.$${\frac{\sqrt3} {2 4}} \pi R^{3}$$
D.$${\frac{\sqrt3} {8}} \pi R^{3}$$
5、['旋转体及其相关概念'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%圆锥的母线长为$${{4}}$$，侧面积是底面积的$$\frac{4} {3}$$倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是$${{(}{)}}$$
A.$${{8}}$$
B.$${{4}{\sqrt {7}}}$$
C.$${{3}{\sqrt {7}}}$$
D.$${{3}{\sqrt {6}}}$$
6、['旋转体及其相关概念'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%一个斜边长为$${{2}}$$的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，所形成的几何体的表面积为$${{(}{)}}$$
A.$${{4}{π}}$$
B.$$\frac{2 \pi} {3}$$
C.$${\sqrt {2}{π}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}{π}}$$
1. 解析：
设圆锥的母线为$$l$$，底面半径为$$r$$，展开后扇形的圆心角为$$\frac{2\pi}{3}$$。扇形弧长等于圆锥底面周长，即：
$$2\pi r = \frac{2\pi}{3} \cdot l \Rightarrow r = \frac{l}{3}$$
圆锥表面积为$$48\pi$$，即：
$$\pi r l + \pi r^2 = 48\pi \Rightarrow \pi \cdot \frac{l}{3} \cdot l + \pi \left(\frac{l}{3}\right)^2 = 48\pi$$
化简得：
$$\frac{l^2}{3} + \frac{l^2}{9} = 48 \Rightarrow \frac{4l^2}{9} = 48 \Rightarrow l^2 = 108 \Rightarrow l = 6\sqrt{3}$$
因此$$r = \frac{l}{3} = 2\sqrt{3}$$。圆锥的高$$h$$为：
$$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{108 - 12} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$$
轴截面面积为：
$$\frac{1}{2} \times 2r \times h = r h = 2\sqrt{3} \times 4\sqrt{6} = 8\sqrt{18} = 24\sqrt{2}$$
故选C。
2. 解析：
半圆的弧长为$$\pi R$$，卷成圆锥后底面周长为$$\pi R$$，设圆锥底面半径为$$r$$，则：
$$2\pi r = \pi R \Rightarrow r = \frac{R}{2}$$
圆锥的母线$$l = R$$，高$$h$$为：
$$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{R^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}R}{2}$$
圆锥体积为：
$$\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}R}{2} = \frac{\sqrt{3}}{24} \pi R^3$$
故选C。
5. 解析：
设圆锥母线$$l = 4$$，底面半径为$$r$$。侧面积是底面积的$$\frac{4}{3}$$倍，即：
$$\pi r l = \frac{4}{3} \pi r^2 \Rightarrow l = \frac{4}{3}r \Rightarrow r = 3$$
圆锥的高$$h$$为：
$$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$$
过两条母线的截面面积最大时为等腰三角形，顶角为$$2\theta$$，其中$$\sin\theta = \frac{r}{l} = \frac{3}{4}$$。截面面积为：
$$\frac{1}{2} l^2 \sin(2\theta) = \frac{1}{2} \times 16 \times 2 \times \frac{3}{4} \times \sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = 8 \times \frac{3\sqrt{7}}{4} = 6\sqrt{7}$$
但更简单的方法是直接计算两条母线夹角的正弦：
$$\sin\phi = \frac{2\sqrt{7}}{8} = \frac{\sqrt{7}}{4}$$
截面面积为：
$$\frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4} \times 2 = 4\sqrt{7}$$
故选B。
6. 解析：
等腰直角三角形斜边长为$$2$$，直角边为$$\sqrt{2}$$。绕斜边旋转一周形成两个圆锥的组合体。每个圆锥的母线为$$\sqrt{2}$$，底面半径为$$1$$（斜边的高）。表面积为两个圆锥的侧面积之和：
$$2 \times \pi r l = 2 \times \pi \times 1 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\pi$$
故选D。
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