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正确率80.0%已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若球的体积为$$\frac{3 2 \pi} {3}$$，这两个圆锥的体积之和为$${{4}{π}}$$，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
4、['旋转体及其相关概念'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%圆锥的母线长为$${{4}}$$，侧面积是底面积的$$\frac{4} {3}$$倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是$${{(}{)}}$$
A.$${{8}}$$
B.$${{4}{\sqrt {7}}}$$
C.$${{3}{\sqrt {7}}}$$
D.$${{3}{\sqrt {6}}}$$
5、['旋转体及其相关概念'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%某圆锥的侧面展开图是半径为$${{3}}$$，圆心角为$${{1}{2}{0}{°}}$$的扇形，则该圆锥的体积为$${{(}{)}}$$
A.$${{4}{\sqrt {5}}{π}}$$
B.$$\frac{4 \sqrt{5}} {3} \pi$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}{π}}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3} \pi$$
6、['旋转体及其相关概念'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率40.0%已知圆锥的高为$${{1}}$$，体积为$${{π}}$$，则过圆锥顶点作圆锥截面的面积最大值为$${{(}{)}}$$
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}{π}}$$
D.$${{3}{π}}$$
8、['多面体'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%已知正四棱台的上、下底面分别是边长为$${{2}}$$和$${{4}}$$的正方形，高为$${\sqrt {{1}{4}}}$$，则该四棱台的表面积为$${{(}{)}}$$
A.$$1 0+6 \sqrt{1 5}$$
B.$${{3}{4}}$$
C.$$2 0+1 2 \sqrt{1 5}$$
D.$${{6}{8}}$$
9、['棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%设$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$，$${{D}}$$是同一个直径为$${{8}}$$的球的球面上四点，$${{△}{A}{B}{C}}$$为等边三角形且其面积为$${{9}{\sqrt {3}}}$$，则三棱锥$$D-A B C$$体积的最大值为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}{8}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}{4}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{3}{6}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{5}{4}{\sqrt {3}}}$$
2. 圆锥体积比问题解析：
已知球的体积为 $$\frac{32\pi}{3}$$，则球的半径 $$R = 2$$。设圆锥底面半径为 $$r$$，高分别为 $$h_1$$ 和 $$h_2$$。根据几何关系，圆锥顶点在球面上，底面圆周也在球面上，故有：
$$r^2 + (h_1 - R)^2 = R^2 \quad \text{和} \quad r^2 + (h_2 - R)^2 = R^2$$
解得 $$r^2 = 4h_1 - h_1^2$$ 和 $$r^2 = 4h_2 - h_2^2$$，因此 $$h_1 + h_2 = 4$$。
圆锥体积和为 $$\frac{1}{3}\pi r^2 (h_1 + h_2) = 4\pi$$，代入 $$h_1 + h_2 = 4$$ 得 $$r^2 = 3$$。
解得 $$h_1 = 1$$，$$h_2 = 3$$ 或反之，故体积较小者与较大者的高之比为 $$\frac{1}{3}$$。答案为 D。
4. 圆锥截面面积最大值问题解析：
圆锥母线 $$l = 4$$，设底面半径为 $$r$$，侧面积为 $$\pi r l$$，底面积为 $$\pi r^2$$。根据题意：
$$\pi r l = \frac{4}{3} \pi r^2 \Rightarrow r = 3$$
圆锥高 $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{7}$$。过两条母线的截面面积最大时为等腰三角形，其面积为：
$$\frac{1}{2} \times 2r \times \sqrt{l^2 - r^2} = 3\sqrt{7}$$
答案为 C。
5. 圆锥体积问题解析：
圆锥侧面展开图是半径为 $$3$$，圆心角为 $$120^\circ$$ 的扇形，故母线 $$l = 3$$。扇形弧长为 $$2\pi \times 3 \times \frac{120}{360} = 2\pi$$，即圆锥底面周长 $$2\pi r = 2\pi$$，所以 $$r = 1$$。
圆锥高 $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$，体积为：
$$\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{2\sqrt{2}}{3} \pi$$
答案为 D。
6. 圆锥截面面积最大值问题解析：
圆锥高 $$h = 1$$，体积为 $$\pi$$，设底面半径为 $$r$$，则 $$\frac{1}{3}\pi r^2 \times 1 = \pi \Rightarrow r^2 = 3$$。
母线 $$l = \sqrt{r^2 + h^2} = 2$$。过顶点的截面面积最大时为等腰三角形，面积为：
$$\frac{1}{2} \times 2r \times h = \sqrt{3}$$
答案为 A。
8. 正四棱台表面积问题解析：
正四棱台上下底面边长分别为 $$2$$ 和 $$4$$，高为 $$\sqrt{14}$$。侧棱长为：
$$\sqrt{(\frac{4-2}{2})^2 + (\sqrt{14})^2} = \sqrt{15}$$
侧面积为 $$4 \times \frac{2+4}{2} \times \sqrt{15} = 12\sqrt{15}$$，上下底面积为 $$4 + 16 = 20$$，故表面积为 $$20 + 12\sqrt{15}$$。
答案为 C。
9. 三棱锥体积最大值问题解析：
球的直径 $$8$$，半径 $$R = 4$$。等边三角形 $$ABC$$ 面积为 $$9\sqrt{3}$$，边长为 $$6$$。
外接圆半径 $$r = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$$。三棱锥 $$D-ABC$$ 体积最大时，$$D$$ 到平面 $$ABC$$ 的距离最大，为 $$\sqrt{R^2 - r^2} + R = 4 + 2 = 6$$。
体积为 $$\frac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \times 6 = 18\sqrt{3}$$。
答案为 A。