.jpg)
正确率60.0%已知三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为$$\sqrt{3}， \， \， \， A B=2 \sqrt{2}， \， A C=\sqrt{2}， \angle B A C=6 0^{\circ} \，，$$则此球的体积等于$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{8 \sqrt{2} \pi} {3}$$
B.$$\frac{9 \pi} {2}$$
C.$$\frac{5 \sqrt{1 0} \pi} {3}$$
D.$$\frac{4 \sqrt{3} \pi} {3}$$
2、['球的体积']正确率40.0%在四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{A}{D}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}}$$，$$A B=A C=2$$，$$\angle B A C=9 0^{\circ}$$，若四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$的体积$$\frac{4 \sqrt{2}} {3}$$，则四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$的外接球的表面积为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}{0}{π}}$$
B.$${{1}{8}{π}}$$
C.$${{1}{6}{π}}$$
D.$${{1}{2}{π}}$$
3、['球的体积']正确率40.0%一个正四面体的棱长为$${{2}}$$，则这个正四面体的外接球的体积为$${{(}{)}}$$
A.$${\sqrt {6}{π}}$$
B.$${{2}{π}}$$
C.$${{3}{π}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}{π}}$$
4、['旋转体和旋转体的轴'， '圆的定义与标准方程'， '球的体积']正确率60.0%将圆$$( x+1 )^{2}+y^{2}=4$$绕直线$$x+y+1=0$$旋转$${{1}{8}{0}^{∘}}$$所得几何体的体积为（）
C
A.$$\frac{4 \pi} {3}$$
B.$${{8}{π}}$$
C.$$\frac{3 2 \pi} {3}$$
D.$${{1}{6}{π}}$$
5、['球的体积'， '立体几何中的数学文化']正确率80.0%$${《}$$九章算术$${》}$$中$${{“}}$$开立圆术$${{”}}$$曰：$${{“}}$$置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径$${{”}{．}{“}}$$开立圆术$${{”}}$$相当于给出了已知球的体积$${{V}}$$，求其直径$${{d}}$$，公式为$$d=3 \frac{1 6} {9} V$$．如果球的半径为$$\frac{1} {3}，$$根据$${{“}}$$开立圆术$${{”}}$$的方法求球的体积为（）
D
A.$$\frac{4 \pi} {8 1}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{4} {8 1}$$
D.$$\frac{1} {6}$$
6、['球的体积'， '与球有关的切、接问题']正确率40.0%已知等腰直角三角形$${{A}{B}{C}}$$三个顶点都在球$${{O}}$$的球面上，$$A B=B C=4$$，若球$${{O}}$$上的点到平面$${{A}{B}{C}}$$的最大距离为$${{4}}$$，则球$${{O}}$$的体积为（）
D
A.$$\frac{1 6 \pi} {3}$$
B.$$\frac{3 2 \pi} {3}$$
C.$${{1}{8}{π}}$$
D.$${{3}{6}{π}}$$
7、['球的体积']正确率80.0%$${{2}}$$个球的半径之比为$${{1}{：}{2}}$$，那么大球的体积是小球的体积的（）
D
A.$${{2}}$$倍
B.$${{4}}$$倍
C.$${{6}}$$倍
D.$${{8}}$$倍
8、['球的体积']正确率40.0%已知三棱锥$$S-A B C$$的体积为$$\frac{2 8 \sqrt{3}} {3}$$，其外接球的体积为$$\frac{5 0 0} {3} \pi$$，若$$A B=A C=4$$，$$\angle B A C=1 2 0^{\， \circ}$$，则线段$${{S}{A}}$$的长度的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{8}}$$
B.$${{5}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
9、['球的体积']正确率80.0%圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积和圆柱的全面积的比是$${{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$：$${{3}}$$
B.$${{3}}$$：$${{4}}$$
C.$${{4}}$$：$${{5}}$$
D.$${{5}}$$：$${{6}}$$
10、['球的体积']正确率80.0%已知矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$的顶点都在球心为$${{O}}$$的球面上，$${{A}{B}{=}{3}}$$，$${{B}{C}{=}{\sqrt {3}}}$$，且四棱锥$$O-A B C D$$的体积为$${{4}{\sqrt {3}}}$$，则球$${{O}}$$的表面积为$${{(}{)}}$$
A.$${{7}{6}{π}}$$
B.$${{1}{1}{2}{π}}$$
C.$$\frac{7 6 \sqrt{3} \pi} {3}$$
D.$$\frac{2 2 4 \sqrt{7} \pi} {3}$$
1. 首先计算三角形 $$ABC$$ 的面积：
$$S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin \angle BAC = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$
由棱柱体积 $$V = S \times h = \sqrt{3}$$，得侧棱高度 $$h = 1$$。
计算三角形 $$ABC$$ 的外接圆半径 $$R$$：
$$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos \angle BAC} = \sqrt{8 + 2 - 4} = \sqrt{6}$$
$$R = \frac{BC}{2 \sin \angle BAC} = \frac{\sqrt{6}}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{2}$$
球的半径 $$R_{\text{球}} = \sqrt{R^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{2 + \frac{1}{4}} = \frac{3}{2}$$
球的体积 $$V = \frac{4}{3} \pi R_{\text{球}}^3 = \frac{4}{3} \pi \times \frac{27}{8} = \frac{9\pi}{2}$$，故选 B。
2. 三角形 $$ABC$$ 是等腰直角三角形，外接圆半径 $$R = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$。
四面体体积 $$V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times AD = \frac{4\sqrt{2}}{3}$$，得 $$AD = 2$$。
外接球半径 $$R_{\text{球}} = \sqrt{R^2 + \left(\frac{AD}{2}\right)^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$$
表面积 $$S = 4\pi R_{\text{球}}^2 = 12\pi$$，但选项中没有，可能计算有误。
重新考虑坐标系法，设 $$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(0,2,0)$$，$$D(0,0,2)$$，外接球半径 $$R = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$$，结果一致，题目可能有误。
3. 正四面体外接球半径公式 $$R = \frac{\sqrt{6}}{4} \times a = \frac{\sqrt{6}}{4} \times 2 = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
体积 $$V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \times \frac{6\sqrt{6}}{8} = \sqrt{6}\pi$$，故选 A。
4. 圆的半径 $$r=2$$，旋转后形成球体，体积 $$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{32\pi}{3}$$，故选 C。
5. 根据公式 $$d = \sqrt[3]{\frac{16}{9}V}$$，已知半径 $$r = \frac{1}{3}$$，则 $$d = \frac{2}{3}$$
代入得 $$V = \frac{9}{16} \times \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{9}{16} \times \frac{8}{27} = \frac{1}{6}$$，故选 D。
6. 等腰直角三角形 $$ABC$$ 的外接圆半径 $$R = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$$
球心到平面距离 $$d = \sqrt{R_{\text{球}}^2 - R^2}$$，最大距离为 $$d + R_{\text{球}} = 4$$
解得 $$R_{\text{球}} = 2$$，体积 $$V = \frac{4}{3} \pi \times 8 = \frac{32\pi}{3}$$，故选 B。
7. 体积比等于半径比的立方，$$V_{\text{大}} : V_{\text{小}} = 2^3 : 1^3 = 8 : 1$$，故选 D。
8. 三角形 $$ABC$$ 的面积 $$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times \sin 120^\circ = 4\sqrt{3}$$
三棱锥体积 $$V = \frac{1}{3} \times S \times h = \frac{28\sqrt{3}}{3}$$，得 $$h = 7$$
外接球半径 $$R_{\text{球}} = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}} = 5$$
设 $$SA = x$$，由几何关系得 $$x \geq \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}$$，但选项不符，可能计算有误。
9. 设球半径 $$r$$，圆柱半径 $$r$$，高 $$2r$$
球的表面积 $$4\pi r^2$$，圆柱全面积 $$2\pi r^2 + 2\pi r \times 2r = 6\pi r^2$$
比值 $$4\pi r^2 : 6\pi r^2 = 2:3$$，故选 A。
10. 矩形对角线 $$AC = \sqrt{3 + 9} = 2\sqrt{3}$$，外接圆半径 $$R = \sqrt{3}$$
四棱锥体积 $$V = \frac{1}{3} \times 3 \times \sqrt{3} \times h = 4\sqrt{3}$$，得 $$h = 4$$
球半径 $$R_{\text{球}} = \sqrt{R^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7}$$
表面积 $$S = 4\pi \times 7 = 28\pi$$，但选项不符，可能题目理解有误。