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正确率80.0%已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为$${{2}{\sqrt {3}}}$$的同一个球的球面上，则该圆柱体积的最大值为$${{(}{)}}$$
A.$${{3}{2}{π}}$$
B.$$\frac{3 2 \pi} {3}$$
C.$${{1}{0}{π}}$$
D.$${{2}{4}{π}}$$
4、['旋转体及其相关概念'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%等腰直角三角形的斜边为$${{2}}$$，以斜边为轴旋转一周所得几何体的体积为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\pi} {3}$$
B.$$\frac{2 \pi} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{2} \pi} {3}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{2} \pi} {3}$$
5、['球的体积'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率40.0%在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑$${{.}}$$在鳖臑$$A-B C D$$中，$${{A}{B}{⊥}}$$平面$${{B}{C}{D}}$$，$$B C \perp C D$$，且$$A B=B C=C D=1$$，则其内切球表面积为$${{(}{)}}$$
A.$${{3}{π}}$$
B.$${\sqrt {3}{π}}$$
C.$$( 3-2 \sqrt{2} ) \pi$$
D.$$( \sqrt{2}-1 ) \pi$$
7、['棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%已知正四棱锥的底面边长为$${{2}}$$，高为$${{6}}$$，则它的体积为$${{(}{)}}$$
A.$${{4}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{1}{2}}$$
D.$${{2}{4}}$$
8、['棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面$${{.}}$$若正四棱台的上、下底面边长分别为$${{2}}$$，$${{4}}$$，对角面面积为$${{9}{\sqrt {2}}}$$，则该棱台的体积为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}{8}}$$
B.$${{2}{7}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}{8}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{7}{4}}$$
9、['棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率40.0%已知斜三棱柱的一个侧面的面积为$${{1}{0}}$$，该侧面与其相对侧棱的距离为$${{3}}$$，则此斜三棱柱的体积为$${{(}{)}}$$
A.$${{3}{0}}$$
B.$${{1}{5}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{6}{0}}$$
10、['旋转体及其相关概念'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率80.0%已知某圆锥的母线长为$${{4}}$$，高为$${{2}{\sqrt {3}}}$$，则圆锥的全面积为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}{0}{π}}$$
B.$${{1}{2}{π}}$$
C.$${{1}{4}{π}}$$
D.$${{1}{6}{π}}$$
1. 圆柱体积的最大值
设圆柱的高为 $$h$$，底面半径为 $$r$$。圆柱的两个底面圆周在半径为 $$2\sqrt{3}$$ 的球面上，因此圆柱的几何中心与球心重合。由几何关系可得：
$$r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = (2\sqrt{3})^2$$
即 $$r^2 = 12 - \frac{h^2}{4}$$。
圆柱体积 $$V = \pi r^2 h = \pi \left(12 - \frac{h^2}{4}\right) h = 12\pi h - \frac{\pi}{4} h^3$$。
对 $$V$$ 关于 $$h$$ 求导并令导数为零：
$$\frac{dV}{dh} = 12\pi - \frac{3\pi}{4} h^2 = 0 \Rightarrow h = 4$$。
代入得最大体积 $$V = 12\pi \times 4 - \frac{\pi}{4} \times 64 = 32\pi$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
4. 旋转几何体的体积
等腰直角三角形的斜边为 $$2$$，直角边为 $$\sqrt{2}$$。以斜边为轴旋转一周，所得几何体为两个圆锥的组合。
圆锥的高为 $$1$$（斜边的一半），底面半径为 $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$（直角边的一半）。
单个圆锥体积为 $$\frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \times 1 = \frac{\pi}{6}$$。
总体积为 $$2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
5. 鳖臑内切球的表面积
鳖臑 $$A-BCD$$ 中，$$AB \perp BCD$$，$$BC \perp CD$$，且 $$AB = BC = CD = 1$$。
计算四面体的体积 $$V = \frac{1}{6} \times AB \times BC \times CD = \frac{1}{6}$$。
表面积 $$S$$ 包括四个直角三角形：
$$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}$$，$$S_{\triangle ABD} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$S_{\triangle ACD} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2}$$。
总表面积 $$S = 1 + \sqrt{2}$$。
内切球半径 $$r = \frac{3V}{S} = \frac{1/2}{1 + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}$$。
表面积为 $$4\pi r^2 = (\sqrt{2} - 1)^2 \pi = (3 - 2\sqrt{2})\pi$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
7. 正四棱锥的体积
正四棱锥的底面边长为 $$2$$，高为 $$6$$。
底面积 $$A = 2 \times 2 = 4$$。
体积 $$V = \frac{1}{3} \times A \times h = \frac{1}{3} \times 4 \times 6 = 8$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
8. 正四棱台的体积
正四棱台的上、下底面边长分别为 $$2$$ 和 $$4$$，对角面面积为 $$9\sqrt{2}$$。
对角面是一个等腰梯形，高为棱台的高 $$h$$，上下底边长分别为 $$2\sqrt{2}$$ 和 $$4\sqrt{2}$$。
面积公式：$$\frac{1}{2} \times (2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) \times h = 9\sqrt{2}$$，解得 $$h = 3$$。
体积公式：$$V = \frac{1}{3} \times (2^2 + 4^2 + 2 \times 4) \times 3 = 28$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
9. 斜三棱柱的体积
斜三棱柱的一个侧面面积为 $$10$$，与其相对侧棱的距离为 $$3$$。
体积等于侧面面积乘以距离的一半：$$V = \frac{1}{2} \times 10 \times 3 \times 2 = 30$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
10. 圆锥的全面积
圆锥的母线 $$l = 4$$，高 $$h = 2\sqrt{3}$$，底面半径 $$r = \sqrt{l^2 - h^2} = 2$$。
底面积 $$\pi r^2 = 4\pi$$，侧面积 $$\pi r l = 8\pi$$。
全面积 $$4\pi + 8\pi = 12\pi$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。