棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-8.3 简单几何体的表面积与体积知识点课后基础自测题答案-江西省等高二数学必修,平均正确率64.0%

1、['旋转体及其相关概念'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']

正确率40.0%某圆锥的侧面积为$${{8}}$$，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为$$\frac{1} {3}$$，则该圆台的侧面积为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{8} {9}$$

B.$$\frac{1 6} {9}$$

C.$$\frac{3 2} {9}$$

D.$$\frac{6 4} {9}$$

2、['旋转体及其相关概念'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']

正确率80.0%攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑$${{.}}$$如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其侧面展开图是一个圆心角为$${{1}{2}{0}{°}}$$、半径为$${{3}{\sqrt {3}}}$$的扇形，则该屋顶的体积约为$${{(}{)}}$$

A.$${{2}{\sqrt {6}}{π}}$$

B.$${{3}{\sqrt {2}}{π}}$$

C.$${{6}{\sqrt {6}}{π}}$$

D.$${{9}{\sqrt {2}}{π}}$$

3、['旋转体及其相关概念'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']

正确率40.0%已知圆台的上、下底面面积分别为$${{2}{5}{π}}$$和$${{3}{6}{π}}$$，高为$${{2}{\sqrt {6}}}$$，则圆台的侧面积为$${{(}{)}}$$

A.$${{4}{5}{π}}$$

B.$${{5}{5}{π}}$$

C.$${{6}{4}{π}}$$

D.$${{8}{5}{π}}$$

4、['棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']

正确率80.0%长征五号$${{B}}$$运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯$${{⋅}}$$卡门外形$${{(}}$$原始卵形$${{)}{+}}$$圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为$${{6}}$$，且圆锥的高是圆柱高的比为$${{1}}$$：$${{3}}$$，则该模型的体积最大值为$${{(}{)}}$$

A.$${{4}{0}{\sqrt {3}}{π}}$$

B.$${{8}{0}{\sqrt {3}}{π}}$$

C.$$1 6 0 \sqrt{3} \pi$$

D.$$1 8 0 \sqrt{3} \pi$$

5、['棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']

正确率80.0%三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，若存在点$${{P}}$$，使得点$${{P}}$$到三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$所有面所在平面的距离相等，则该三棱柱的侧面积与表面积之比为$${{(}{)}}$$

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

B.$$\begin{array} {c} {6} \\ {\frac{7} {}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{8} {9}$$

D.$$\frac{1 2} {1 3}$$

6、['棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']

正确率80.0%已知等边三角形$${{S}{A}{B}}$$为圆锥的轴截面，$${{A}{B}}$$为圆锥的底面直径，$${{O}}$$，$${{C}}$$分别是$${{A}{B}}$$，$${{S}{B}}$$的中点，过$${{O}{C}}$$且与平面$${{S}{A}{B}}$$垂直的平面记为$${{α}}$$，若点$${{S}}$$到平面$${{α}}$$的距离为$${\sqrt {6}}$$，则该圆锥的侧面积为$${{(}{)}}$$

A.$${{8}{π}}$$

B.$${{1}{6}{π}}$$

C.$${{2}{4}{π}}$$

D.$${{3}{2}{π}}$$

7、['棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']

正确率80.0%在正四棱台$$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}-A B C D$$中，$$A B=2 A_{1} B_{1}$$，且三棱锥$$B_{1}-A B C$$的体积为$${{1}}$$，则该正四棱台的体积为$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$$\frac{5} {2}$$

D.$$\frac{7} {2}$$

8、['棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']

正确率40.0%金字塔一直被认为是古埃及的象征，然而，玛雅文明也有类似建筑，玛雅金字塔是仅次于埃及金字塔的著名建筑$${{.}}$$玛雅金字塔由巨石堆成，其下方近似为正四棱台，顶端是祭神的神殿，其形状近似为正四棱柱$${{.}}$$整座金字塔的高度为$${{2}{9}{m}}$$，金字塔的塔基$${{(}}$$正四棱台的下底面$${{)}}$$的周长为$${{2}{2}{0}{m}}$$，塔台$${{(}}$$正四棱台的上底面$${{)}}$$的周长为$${{5}{2}{m}}$$，神殿底面边长为$${{9}{m}}$$，高为$${{6}{m}}$$，则该玛雅金字塔的体积为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{7 4 9 2 0} {3} m^{3}$$

B.$$3 0 4 5 5 m^{3}$$

C.$$3 7 2 1 7 m^{3}$$

D.$$4 5 4 3 9. 5 m^{3}$$

9、['棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']

正确率40.0%如图，在三棱锥$$S-A B C$$中，$${{S}{A}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}}$$且$${{S}{A}{=}{4}}$$，底面$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\operatorname{c o s} \angle A C B=\frac1 3$$，若三棱锥$$S-A B C$$的外接球半径为$${\sqrt {{1}{3}}}$$，则此三棱锥体积的最大值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{3 2 \sqrt{2}} {3}$$

B.$$\frac{3 2 \sqrt{3}} {3}$$

C.$$\frac{2 5 \sqrt2} {2}$$

D.$$\frac{2 5 \sqrt{3}} {2}$$

10、['棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']

正确率80.0%在直三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，$${{A}{B}{=}{1}}$$，$${{B}{C}{=}{2}}$$，$${{A}{{A}_{1}}{=}{2}}$$，$$A B \perp B C$$，$${{M}}$$为该三棱柱侧面$${{B}{C}{{C}_{1}}{{B}_{1}}}$$内$${{(}}$$含边界$${{)}}$$的动点，且满足$$M B+M C=2 \sqrt{2}$$，则三棱锥$$M-A B C$$体积的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$( 0， \frac{1} {3} )$$

B.$$[ \frac{\sqrt{2}} {6}， \frac{1} {3} ]$$

C.$$( 0， \frac{2} {3} ]$$

D.$$[ \frac{\sqrt{2}} {6}， \frac{2} {3} ]$$

1. 圆锥的侧面积为$$8$$，设圆锥的母线为$$l$$，底面半径为$$r$$，则侧面积公式为$$πrl=8$$。用平行于底面的平面截圆锥，得到圆台，上底面半径$$r_1=\frac{1}{3}r$$，下底面半径$$r_2=r$$。圆台的母线$$l'$$与原圆锥的母线$$l$$成比例关系，由相似性可得$$l'=\frac{2}{3}l$$。圆台的侧面积为$$π(r_1+r_2)l'=π\left(\frac{1}{3}r+r\right)\cdot\frac{2}{3}l=\frac{8}{9}πrl=\frac{8}{9}\times8=\frac{64}{9}$$。故选D。

2. 圆锥的侧面展开图是圆心角$$120°$$、半径$$3\sqrt{3}$$的扇形。扇形弧长$$l=\frac{120°}{360°}\times2π\times3\sqrt{3}=2\sqrt{3}π$$，即为圆锥底面周长，故圆锥底面半径$$r=\frac{l}{2π}=\sqrt{3}$$。圆锥的高$$h=\sqrt{(3\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{27-3}=2\sqrt{6}$$。体积$$V=\frac{1}{3}πr^2h=\frac{1}{3}π\times3\times2\sqrt{6}=2\sqrt{6}π$$。故选A。

3. 圆台上、下底面面积分别为$$25π$$和$$36π$$，故半径分别为$$r_1=5$$和$$r_2=6$$。高$$h=2\sqrt{6}$$，母线$$l=\sqrt{h^2+(r_2-r_1)^2}=\sqrt{24+1}=5$$。侧面积$$S=π(r_1+r_2)l=π(5+6)\times5=55π$$。故选B。

4. 设圆柱的高为$$3x$$，圆锥的高为$$x$$。圆锥母线$$l=6$$，底面半径$$r=\sqrt{l^2-x^2}=\sqrt{36-x^2}$$。模型的体积$$V=πr^2\cdot3x+\frac{1}{3}πr^2\cdot x=\frac{10}{3}πr^2x=\frac{10}{3}π(36-x^2)x$$。求极值点，令导数$$V'=\frac{10}{3}π(36-3x^2)=0$$，得$$x=2\sqrt{3}$$。代入得$$V_{\text{max}}=\frac{10}{3}π(36-12)\times2\sqrt{3}=160\sqrt{3}π$$。故选C。

5. 存在点$$P$$到所有面的距离相等，说明三棱柱的内切球存在。设三棱柱的高为$$h$$，底面为等边三角形，边长为$$a$$。内切球半径$$r$$满足$$r=\frac{h}{2}$$，且底面内切圆半径$$r_{\text{底}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$$。由$$r=r_{\text{底}}$$得$$h=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$。侧面积$$S_{\text{侧}}=3ah=3a\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3}=a^2\sqrt{3}$$，表面积$$S_{\text{总}}=S_{\text{侧}}+2\times\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$$。故比值$$\frac{S_{\text{侧}}}{S_{\text{总}}}=\frac{2}{3}$$。故选A。

6. 设圆锥底面半径$$r$$，母线$$l=2r$$（因轴截面为等边三角形）。取坐标系，设$$S(0,0,\sqrt{3}r)$$，$$A(-r,0,0)$$，$$B(r,0,0)$$，$$C$$为$$SB$$中点，坐标$$C\left(\frac{r}{2},0,\frac{\sqrt{3}r}{2}\right)$$。平面$$α$$过$$OC$$且垂直于$$SAB$$，其法向量为$$(0,1,0)$$，方程为$$y=0$$。点$$S$$到平面$$α$$的距离为$$\sqrt{3}r=\sqrt{6}$$，故$$r=\sqrt{2}$$。圆锥侧面积$$S=πrl=π\times\sqrt{2}\times2\sqrt{2}=8π$$。故选A。

7. 设正四棱台的上底面边长为$$a$$，下底面边长为$$2a$$。三棱锥$$B_1-ABC$$的体积为$$\frac{1}{3}\times\frac{a^2}{2}\times h=1$$，得$$h=\frac{6}{a^2}$$（$$h$$为棱台的高）。棱台体积$$V=\frac{1}{3}(a^2+4a^2+\sqrt{a^2\times4a^2})\times h=\frac{1}{3}\times7a^2\times\frac{6}{a^2}=14$$。但选项无14，可能题目理解有误。重新计算：三棱锥体积$$\frac{1}{6}a^2h=1$$，故$$h=\frac{6}{a^2}$$。棱台体积$$V=\frac{1}{3}(a^2+4a^2+2a^2)\times\frac{6}{a^2}=14$$。选项可能有误，或题目数据不同。

8. 正四棱台下底面边长$$a=\frac{220}{4}=55\text{m}$$，上底面边长$$b=\frac{52}{4}=13\text{m}$$，神殿边长$$c=9\text{m}$$。棱台高度$$H=29-6=23\text{m}$$。棱台体积$$V_1=\frac{1}{3}(a^2+ab+b^2)H=\frac{1}{3}(3025+715+169)\times23=\frac{3909}{3}\times23=29969\text{m}^3$$。神殿体积$$V_2=9^2\times6=486\text{m}^3$$。总体积$$V=V_1+V_2=30455\text{m}^3$$。故选B。

9. 三棱锥外接球半径$$R=\sqrt{13}$$，设底面$$ABC$$外接圆半径$$r$$，则$$R^2=\left(\frac{SA}{2}\right)^2+r^2$$，即$$13=4+r^2$$，得$$r=3$$。由余弦定理$$\cos\angle ACB=\frac{1}{3}$$，设$$AC=x$$，$$BC=y$$，则$$AB^2=x^2+y^2-\frac{2xy}{3}$$。外接圆半径$$r=\frac{AB}{2\sin\angle ACB}=\frac{AB}{2\times\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{3AB}{4\sqrt{2}}=3$$，故$$AB=4\sqrt{2}$$。体积最大时，$$ABC$$为等腰三角形，$$AC=BC=2\sqrt{6}$$，面积$$S=\frac{1}{2}\times2\sqrt{6}\times2\sqrt{6}\times\frac{2\sqrt{2}}{3}=8\sqrt{2}$$。体积$$V=\frac{1}{3}\times8\sqrt{2}\times4=\frac{32\sqrt{2}}{3}$$。故选A。

10. 建立坐标系，设$$B(0,0,0)$$，$$C(2,0,0)$$，$$A(0,1,0)$$，$$B_1(0,0,2)$$，$$C_1(2,0,2)$$。动点$$M(x,y,z)$$在侧面$$BCC_1B_1$$内，满足$$MB+MC=2\sqrt{2}$$，即$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}+\sqrt{(x-2)^2+y^2+z^2}=2\sqrt{2}$$。由椭圆定义知$$M$$在椭圆上，半长轴$$a=\sqrt{2}$$，半焦距$$c=1$$，半短轴$$b=1$$。体积$$V_{M-ABC}=\frac{1}{6}\times1\times2\times z=\frac{z}{3}$$。$$z$$的取值范围为$$[0,2]$$，但由椭圆约束$$z\leq1$$，故$$V\in[0,\frac{1}{3}]$$。具体计算得$$z_{\text{max}}=1$$，$$z_{\text{min}}=0$$。故选A。

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