格物学
第八章 立体几何初步简单几何体的表面积与体积
棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积-简单几何体的表面积与体积知识点回顾基础自测题答案-山东省等高二数学必修,平均正确率84.0%
2025-05-19
2、['棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积']正确率60.0%黄金分割比是指将整体一分为二，较长部分的长度与整体长度的比等于较短部分的长度与较长部分长度的比，其值为$$\frac{\sqrt{5}-1} {2}，$$约为$${{0}{.}{6}{1}{8}}$$.在三角形中，如果相邻两边的长度之比等于黄金分割比，且它们的夹角的余弦值为黄金分割比值，那么这个三角形一定是直角三角形，这个三角形称为黄金分割直角三角形.在正四棱锥中，以黄金分割直角三角形的长直角边的长作为正四棱锥的高，以短直角边的长作为底面正方形的边心距(正多边形的边心距是正多边形的外接圆圆心到正多边形某一边的距离)，斜边作为正四棱锥的斜高，所得到的正四棱锥称为黄金分割正四棱锥.在黄金分割正四棱锥中，以四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为（）
D
A.$$\frac{{\sqrt5}-1} {2}$$
B.$$\frac{{\sqrt5}+1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
6、['棱柱、棱锥、棱台的体积'， '棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积']正确率40.0%三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$中，底面$${{A}{B}{C}}$$满足$$B A=B C， \bot A B C=\frac{\pi} {2}$$，点$${{P}}$$在底面$${{A}{B}{C}}$$的射影为$${{A}{C}}$$的中点，且该三棱锥的体积为$$\frac{1 9} {6}，$$当其外接球的表面积最小时，点$${{P}}$$到底面$${{A}{B}{C}}$$的距离为$${{(}{)}}$$
A
A.$${^{3}\sqrt {{1}{9}}}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 9}} {2}$$
C.$${^{3}\sqrt {6}}$$
D.$${{3}}$$
9、['与球有关的切、接问题'， '球的表面积'， '棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%以$${{A}}$$为顶点的三棱锥$${{A}{−}{B}{C}{D}}$$，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为$${{8}{π}}$$，则以$${{A}}$$为顶点，以面$${{B}{C}{D}}$$为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
2. 解析：
首先，根据题目描述，黄金分割直角三角形的边长比例为：
$$a : b : c = 1 : \frac{\sqrt{5}-1}{2} : \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$$
其中，长直角边为 $$a$$，短直角边为 $$b$$，斜边为 $$c$$。
在黄金分割正四棱锥中：
- 高 $$h = a$$，
- 底面正方形的边心距 $$d = b$$，
- 斜高 $$l = c$$。
由于边心距 $$d$$ 是正方形外接圆圆心到边的距离，设正方形边长为 $$s$$，则：
$$d = \frac{s}{2} \Rightarrow s = 2b$$
正四棱锥的侧面积由四个全等的三角形组成，每个三角形的面积为：
$$\frac{1}{2} \times s \times l = \frac{1}{2} \times 2b \times c = b c$$
因此，总侧面积为：
$$4 \times b c = 4 b c$$
以高为边长的正方形面积为：
$$h^2 = a^2$$
题目要求计算正方形面积与侧面积的比值：
$$\frac{a^2}{4 b c}$$
根据黄金分割直角三角形的边长关系：
$$a = 1, \quad b = \frac{\sqrt{5}-1}{2}, \quad c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$$
代入计算：
$$\frac{a^2}{4 b c} = \frac{1}{4 \times \frac{\sqrt{5}-1}{2} \times \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}} = \frac{1}{2 (\sqrt{5}-1) \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}}$$
进一步化简：
$$\frac{1}{2 (\sqrt{5}-1) \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{5}-1) \sqrt{\sqrt{5}+1}}$$
通过有理化分母和简化，最终结果为：
$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$
因此，答案为：
A. $$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$
6. 解析：
设底面 $$ABC$$ 为等腰直角三角形，$$BA = BC = a$$，$$ \angle ABC = \frac{\pi}{2}$$，则 $$AC = a \sqrt{2}$$。
点 $$P$$ 在底面的射影为 $$AC$$ 的中点 $$O$$，因此 $$PO$$ 为高，设 $$PO = h$$。
三棱锥的体积为：
$$\frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times h = \frac{19}{6} \Rightarrow a^2 h = 19$$
外接球的表面积最小等价于半径最小。外接球的球心在 $$PO$$ 的延长线上，设球心到 $$O$$ 的距离为 $$x$$，则半径 $$R$$ 满足：
$$R^2 = x^2 + \left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2 = (h - x)^2$$
解得：
$$x = \frac{h}{2} - \frac{a^2}{4 h}$$
半径平方为：
$$R^2 = \left(\frac{h}{2} + \frac{a^2}{4 h}\right)^2$$
由 $$a^2 h = 19$$，代入 $$a^2 = \frac{19}{h}$$：
$$R^2 = \left(\frac{h}{2} + \frac{19}{4 h^2}\right)^2$$
为最小化 $$R$$，对 $$h$$ 求导并令导数为零，解得 $$h = \sqrt[3]{19}$$。
因此，点 $$P$$ 到底面的距离为：
A. $$\sqrt[3]{19}$$
9. 解析：
设三棱锥 $$A-BCD$$ 的三条侧棱两两垂直，长度分别为 $$x, y, z$$。其外接球的表面积为 $$8 \pi$$，因此半径 $$R$$ 满足：
$$4 \pi R^2 = 8 \pi \Rightarrow R = \sqrt{2}$$
对于两两垂直的三棱锥，外接球半径公式为：
$$R = \frac{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}{2} \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 8$$
三棱锥的侧面积之和为：
$$S = \frac{1}{2} (x y + y z + z x)$$
在约束 $$x^2 + y^2 + z^2 = 8$$ 下，$$S$$ 的最大值当 $$x = y = z$$ 时取得：
$$x = y = z = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
此时：
$$S = \frac{1}{2} \times 3 \times \left(\frac{2 \sqrt{6}}{3}\right)^2 = 4$$
因此，侧面积之和的最大值为：
B. $$4$$
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