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正确率60.0%已知$${{△}{S}{A}{B}}$$是圆锥$${{S}{O}}$$的一个轴截面$${，{C}{D}}$$分别为母线$${{S}{A}{S}{B}}$$的中点，$${{S}{O}{=}{2}{\sqrt {7}}}$$，$${{C}{D}{=}{2}{，}}$$则圆锥$${{S}{O}}$$的侧面积为（）
D
A.$${{4}{π}}$$
B.$${{4}{\sqrt {2}}{π}}$$
C.$${{8}{π}}$$
D.$${{8}{\sqrt {2}}{π}}$$
2、['圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积']正确率60.0%将边长为$${{2}}$$的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的侧面积为（）
B
A.$${{π}}$$
B.$${{2}{π}}$$
C.$${{3}{π}}$$
D.$${{4}{π}}$$
3、['圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积']正确率60.0%已知某圆台的高为$${\sqrt {7}{，}}$$上底面半径为$${\sqrt {2}{，}}$$下底面半径为$${{2}{\sqrt {2}}{，}}$$则其侧面展开图的面积为（）
C
A.$${{9}{π}}$$
B.$${{6}{\sqrt {2}}{π}}$$
C.$${{9}{\sqrt {2}}{π}}$$
D.$${{8}{\sqrt {2}}{π}}$$
5、['导数与最值'， '圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积'， '圆柱、圆锥、圆台的体积']正确率40.0%现要做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为$${{2}{7}{π}}$$且用料最省，则水桶底面圆的半径为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{3}}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{6}}$$
6、['球的体积'， '与球有关的切、接问题'， '圆锥的结构特征及其性质'， '圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积']正确率40.0%已知圆锥$${{S}{O}}$$，底面圆半径为$${{3}}$$，侧面积为$${{1}{5}{π}}$$，则与该圆锥的侧面和底面均相切的球的体积为（）
A
A.$$\frac{9} {2} \pi$$
B.$${{4}{\sqrt {3}}{π}}$$
C.$${{9}{π}}$$
D.$$\frac{2 5 6} {8 1} \pi$$
7、['圆锥的结构特征及其性质'， '圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积']正确率60.0%若圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{2}}$$
8、['圆锥的结构特征及其性质'， '圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积']正确率40.0%已知圆锥的高为$${{8}}$$，底面圆的直径为$${{1}{2}}$$，则此圆锥的侧面积是（）
D
A.$${{2}{4}{π}}$$
B.$${{3}{0}{π}}$$
C.$${{4}{8}{π}}$$
D.$${{6}{0}{π}}$$
10、['与球有关的切、接问题'， '圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积']正确率40.0%已知球与棱长为$${{2}}$$的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱的侧面积的最大值为（）
B
A.$${{2}{π}}$$
B.$${{4}{π}}$$
C.$${{6}{π}}$$
D.$${{2}{0}{π}}$$
1. 解析：
设圆锥底面半径为 $$r$$，母线长为 $$l$$。由题意，$$SO = 2\sqrt{7}$$，$$CD = 2$$。由于 $$C$$ 和 $$D$$ 是 $$SA$$ 和 $$SB$$ 的中点，所以 $$CD$$ 是 $$△SAB$$ 的中位线，因此 $$AB = 2CD = 4$$，即圆锥底面直径 $$AB = 2r = 4$$，所以 $$r = 2$$。
在轴截面 $$△SOA$$ 中，$$SO = 2\sqrt{7}$$，$$OA = r = 2$$，根据勾股定理，母线 $$SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{(2\sqrt{7})^2 + 2^2} = \sqrt{28 + 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$。
圆锥的侧面积公式为 $$S = \pi r l = \pi \times 2 \times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\pi$$。故选 D。
2. 解析：
正三角形边长为 $$2$$，其高为 $$\sqrt{3}$$。旋转后圆锥的底面半径 $$r = 1$$，高 $$h = \sqrt{3}$$，母线 $$l = 2$$。
圆锥的侧面积 $$S = \pi r l = \pi \times 1 \times 2 = 2\pi$$。故选 B。
3. 解析：
圆台的高 $$h = \sqrt{7}$$，上底面半径 $$r_1 = \sqrt{2}$$，下底面半径 $$r_2 = 2\sqrt{2}$$。
母线长 $$l = \sqrt{h^2 + (r_2 - r_1)^2} = \sqrt{7 + (2\sqrt{2} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{7 + 2} = 3$$。
圆台的侧面积 $$S = \pi (r_1 + r_2) l = \pi (\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) \times 3 = 9\sqrt{2}\pi$$。故选 C。
5. 解析：
设水桶底面半径为 $$r$$，高为 $$h$$，容积为 $$27\pi$$，即 $$\pi r^2 h = 27\pi$$，所以 $$r^2 h = 27$$。
用料最省即表面积最小，表面积 $$S = \pi r^2 + 2\pi r h$$。由 $$h = \frac{27}{r^2}$$，代入得 $$S = \pi r^2 + \frac{54\pi}{r}$$。
对 $$S$$ 求导并令导数为零：$$S' = 2\pi r - \frac{54\pi}{r^2} = 0$$，解得 $$r = 3$$。
验证 $$r = 3$$ 时 $$S$$ 最小，故选 A。
6. 解析：
圆锥底面半径 $$r = 3$$，侧面积 $$S = 15\pi$$。侧面积公式 $$S = \pi r l$$，解得母线 $$l = 5$$。
圆锥的高 $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$$。
设内切球半径为 $$R$$，由相似三角形关系，$$\frac{R}{h - R} = \frac{r}{l}$$，即 $$\frac{R}{4 - R} = \frac{3}{5}$$，解得 $$R = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$。
球的体积 $$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{9}{2}\pi$$。故选 A。
7. 解析：
圆锥的轴截面为等边三角形，设边长为 $$a$$，则底面半径 $$r = \frac{a}{2}$$，母线 $$l = a$$。
侧面积 $$S_{\text{侧}} = \pi r l = \pi \times \frac{a}{2} \times a = \frac{\pi a^2}{2}$$。
表面积 $$S_{\text{表}} = S_{\text{侧}} + \pi r^2 = \frac{\pi a^2}{2} + \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3\pi a^2}{4}$$。
比值 $$\frac{S_{\text{侧}}}{S_{\text{表}}} = \frac{\frac{\pi a^2}{2}}{\frac{3\pi a^2}{4}} = \frac{2}{3}$$。故选 B。
8. 解析：
圆锥的高 $$h = 8$$，底面直径 $$12$$，半径 $$r = 6$$。
母线 $$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{64 + 36} = 10$$。
侧面积 $$S = \pi r l = \pi \times 6 \times 10 = 60\pi$$。故选 D。
10. 解析：
球的直径等于正方体的棱长 $$2$$，半径 $$R = 1$$。
设圆柱的高为 $$h$$，底面半径为 $$r$$，则圆柱内接于球的条件为 $$r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2 = 1$$。
圆柱的侧面积 $$S = 2\pi r h$$。由约束条件，$$r = \sqrt{1 - \left(\frac{h}{2}\right)^2}$$，代入得 $$S = 2\pi h \sqrt{1 - \frac{h^2}{4}}$$。
求 $$S$$ 的最大值，令 $$f(h) = h \sqrt{4 - h^2}$$，求导得极值点 $$h = \sqrt{2}$$，此时 $$S = 2\pi$$。故选 A。