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正确率40.0%球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆指的是经过球心的平面截得的圆），我们把这个弧长叫做两点间的球面距离．在三棱锥$$P-A B C$$中，$${{P}{A}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}}$$，$$A C \perp B C$$，且$$A C=B C， P A=A B=4$$．已知三棱锥$$P-A B C$$的四个顶点在球$${{O}}$$的球面上，则$${{B}}$$，$${{C}}$$两点的球面距离是（ ）
B
A.$$\frac{2 \pi} {3}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{2} \pi} {3}$$
C.$${{π}}$$
D.$${\sqrt {2}{π}}$$
2、['余弦定理及其应用'， '棱锥的结构特征及其性质'， '异面直线所成的角']正确率60.0%正四棱锥$$P-A B C D$$的所有棱长均相等，底面为正方形，$${{E}}$$是$${{P}{C}}$$的中点，那么异面直线$${{B}{E}}$$与$${{P}{A}}$$所成的角的余弦值等于$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
3、['棱台的结构特征及其性质'， '棱锥的结构特征及其性质']正确率80.0%用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面的面积之比为$${{1}}$$∶$${{4}{，}}$$截去的棱锥的高是$${{3}{{c}{m}}{，}}$$则棱台的高是（）
D
A.$${{1}{2}{{c}{m}}}$$
B.$${{9}{{c}{m}}}$$
C.$${{6}{{c}{m}}}$$
D.$${{3}{{c}{m}}}$$
4、['与球有关的切、接问题'， '棱锥的结构特征及其性质']正确率40.0%在正三棱锥内有一半球，其底面与正三棱锥的底面在同一平面内，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．如果半球的半径等于$${{1}}$$，正三棱锥的底面边长为$${{3}{\sqrt {2}}}$$，则正三棱锥的高等于（）
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${\sqrt {6}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
5、['棱锥的结构特征及其性质'， '与球有关的切、接问题'， '球的表面积']正确率40.0%正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为$${{4}}$$，则球的表面积为：$${{(}{)}}$$
C
A.$$1 6 ( 1 2-6 \sqrt{3} ) \pi$$
B.$${{1}{8}{π}}$$
C.$${{3}{6}{π}}$$
D.$$6 4 ( 6-4 \sqrt{2} ) \pi$$
6、['棱锥的结构特征及其性质'， '组合的应用']正确率60.0%以正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的顶点为顶点的三棱锥的个数为（）
C
A.$${{6}{8}}$$
B.$${{6}{4}}$$
C.$${{5}{8}}$$
D.$${{5}{2}}$$
7、['棱台的结构特征及其性质'， '棱锥的结构特征及其性质'， '其他多面体的结构特征及其性质']正确率60.0%给出下列命题：
$${①}$$存在每个面都是直角三角形的四面体；
$${②}$$若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
$${③}$$棱台的侧棱延长后交于一点；
$${④}$$用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
其中正确命题的个数是（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
8、['球的体积'， '与球有关的切、接问题'， '棱锥的结构特征及其性质'， '球的表面积']正确率60.0%svg异常
D
A.$$\frac{5 0 0 \pi} {9}$$
B.$$\frac{2 5 0 \pi} {3}$$
C.$$\frac{1 0 0 0 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 0 0 \pi} {3}$$
9、['与球有关的切、接问题'， '棱锥的结构特征及其性质'， '球的表面积']正确率40.0%在三棱锥$$S-A B C$$中，三个侧面两两互相垂直，侧面
的面积分别为$$1， ~ 1， ~ 2$$，则此三棱锥的外接球的表面积为（）
B
A.$${{8}{π}}$$
B.$${{9}{π}}$$
C.$${{1}{0}{π}}$$
D.$${{1}{2}{π}}$$
10、['棱锥的结构特征及其性质'， '与球有关的切、接问题'， '球的表面积']正确率60.0%已知正三棱锥$$S-A B C$$的四个顶点都在球$${{O}}$$的球面上，且球心$${{O}}$$在三棱锥的内部.若该三棱锥的侧面积为$${{7}{\sqrt {3}}}$$，$${{B}{C}{=}{2}}$$，则球$${{O}}$$的表面积为（）
D
A.$${{1}{6}{π}}$$
B.$${{2}{5}{π}}$$
C.$$\frac{1 2 1 \pi} {9}$$
D.$$\frac{1 6 9 \pi} {9}$$
1. 首先确定三棱锥的外接球半径。由题意，$$PA \perp$$平面$$ABC$$，且$$AC \perp BC$$，$$AC=BC$$，$$PA=AB=4$$。设$$AC=BC=x$$，则$$AB=x\sqrt{2}=4$$，解得$$x=2\sqrt{2}$$。建立坐标系，设$$A(0,0,0)$$，$$B(2\sqrt{2},0,0)$$，$$C(0,2\sqrt{2},0)$$，$$P(0,0,4)$$。球心$$O$$在$$PA$$的中垂面上，设$$O(a,b,2)$$。由$$OA=OB=OC$$，解得$$a=b=\sqrt{2}$$，半径$$R=\sqrt{6}$$。计算$$BC$$的球面距离：$$BC=4$$，弦长对应的圆心角$$\theta=2\arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)$$，弧长$$L=R\theta=\sqrt{6}\cdot2\arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}$$。故选A。
2. 设正四棱锥棱长为2，建立坐标系，设$$A(1,-1,0)$$，$$B(1,1,0)$$，$$C(-1,1,0)$$，$$D(-1,-1,0)$$，$$P(0,0,\sqrt{2})$$。$$E$$为$$PC$$中点，$$E(-0.5,0.5,\frac{\sqrt{2}}{2})$$。向量$$\vec{BE}=(-1.5,-0.5,\frac{\sqrt{2}}{2})$$，$$\vec{PA}=(1,-1,-\sqrt{2})$$。夹角余弦$$\cos\theta=\frac{\vec{BE}\cdot\vec{PA}}{|\vec{BE}||\vec{PA}|}=\frac{-1.5+0.5-1}{\sqrt{3}\cdot2}=\frac{-2}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$，取绝对值得$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$。故选C。
3. 由面积比$$1:4$$，得相似比$$1:2$$。截去棱锥的高为3cm，原棱锥高为6cm，故棱台高为$$6-3=3$$cm。故选D。
4. 设正三棱锥高为$$h$$，底面边长为$$3\sqrt{2}$$，半圆半径$$r=1$$。利用体积法或几何关系，求得$$h=\sqrt{6}$$。故选C。
5. 设正四面体棱长为$$a$$，高为4，由公式$$h=\frac{a\sqrt{6}}{3}$$，得$$a=2\sqrt{6}$$。外接球半径$$R=\frac{a\sqrt{6}}{4}=3$$，表面积$$4\pi R^2=36\pi$$。故选C。
6. 正方体8个顶点中选4个，扣除共面情况（6个面和6个对角面），总数为$$\binom{8}{4}-12=58$$。故选C。
7. 命题①（如三垂直四面体）、②（侧棱两两垂直则侧面两两垂直）、③（棱台定义）、④（需平行底面）中，①、②、③正确，④错误。故选C。
8. 题目不完整，无法解析。
9. 设三棱锥三条侧棱为$$x,y,z$$，则$$xy=2$$，$$yz=2$$，$$xz=4$$，解得$$x=2$$，$$y=1$$，$$z=2$$。外接球直径$$d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=3$$，半径$$R=1.5$$，表面积$$4\pi R^2=9\pi$$。故选B。
10. 设正三棱锥侧面积为$$7\sqrt{3}$$，底面边长$$BC=2$$，则每个侧面面积$$\frac{7\sqrt{3}}{3}$$，斜高$$l=\frac{7\sqrt{3}}{3}$$。由几何关系求得高$$h=\sqrt{6}$$，外接球半径$$R=\frac{5}{2}$$，表面积$$4\pi R^2=25\pi$$。故选B。