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正确率19.999999999999996%svg异常
C
A.$$\frac{1 6} {5} \pi$$
B.$$\frac{2 8} {5} \pi$$
C.$$\frac{3 6} {5} \pi$$
D.$${{8}{π}}$$
2、['球的结构特征及其性质'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率19.999999999999996%已知球$${{O}}$$和正四面体$$A B C D，$$点$$B， ~ C， ~ D$$在球面上，底面$${{B}{C}{D}}$$过球心$${{O}{，}}$$棱$$A B， ~ A C， ~ A D$$分别交球面于$$B_{1}， ~ C_{1}， ~ D_{1}，$$若球的半径$${{R}{=}{\sqrt {3}}{，}}$$则所得多面体$$B_{1} C_{1} D_{1}-B C D$$的体积为（）
D
A.$$\frac{9 \sqrt2} {8}$$
B.$$\frac{9 \sqrt2} {4}$$
C.$$\frac{2 3 \sqrt2} {1 2}$$
D.$$\frac{1 3 \sqrt2} {6}$$
3、['立体几何中的截面、交线问题'， '球的结构特征及其性质']正确率40.0%在正四棱锥$$P-A B C D$$中，已知$$P A=A B=2$$，$${{O}}$$为底面$${{A}{B}{C}{D}}$$的中心，以点$${{O}}$$为球心作一个半径为$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$的球，则该球的球面与侧面$${{P}{C}{D}}$$的交线长度为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{6}} {6} \pi$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {4} \pi$$
C.$$\frac{\sqrt6} {3} \pi$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {2} \pi$$
4、['球的结构特征及其性质'， '球的表面积']正确率60.0%在球内有相距$${{1}{{c}{m}}}$$的两个平行截面，截面面积分别是$${{5}{π}{c}{{m}^{2}}}$$和$$8 \pi\; \mathrm{c m}^{2} \，，$$若球心不在截面之间，则球的表面积是（）
A
A.$$3 6 \pi\ \mathrm{c m}^{2}$$
B.$$2 7 \pi\ \mathrm{c m}^{2}$$
C.$$2 0 \pi\ \mathrm{c m}^{2}$$
D.$$1 6 \pi\ \mathrm{c m}^{2}$$
5、['球的结构特征及其性质']正确率80.0%平面$${{α}}$$截半径为$${{2}}$$的球$${{O}}$$所得的截面圆的面积为$${{π}{，}}$$则球心到$${{O}}$$平面$${{α}}$$的距离为（）
A
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
6、['棱柱的结构特征及其性质'， '球的体积'， '与球有关的切、接问题'， '球的结构特征及其性质'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率40.0%已知正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$体积为$${{8}}$$，面$$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$在一个半球的底面上，$$A. ~ B. ~ C. ~ D$$四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（）
D
A.$$\frac{3 2} {3} \pi$$
B.$$\frac{4 \sqrt{2}} {3} \pi$$
C.$${{1}{2}{π}}$$
D.$${{4}{\sqrt {6}}{π}}$$
7、['球的体积'， '球的结构特征及其性质']正确率40.0%svg异常
D
A.$$\frac{\sqrt6} {2}+\frac3 2$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{\sqrt2} 2+\frac3 2$$
D.$$\frac{\sqrt3} 2+\frac3 2$$
8、['与球有关的切、接问题'， '球的结构特征及其性质'， '球的表面积']正确率60.0%已知长方形$${{A}{B}{C}{D}}$$的长$${{A}{B}}$$为$${{8}}$$，宽$${{A}{D}}$$为$${{6}}$$，沿对角线$${{A}{C}}$$折起，形成四面体$$D-A B C$$，则该四面体外接球的表面积为（）
D
A.$${{2}{5}{π}}$$
B.$$\frac{1 2 5} {6} \pi$$
C.$$\frac{5 0 0} {3} \pi$$
D.$${{1}{0}{0}{π}}$$
9、['立体几何中的截面、交线问题'， '棱锥的结构特征及其性质'， '与球有关的切、接问题'， '球的结构特征及其性质']正确率40.0%已知球$${{O}}$$是正三棱锥$$S-A B C$$的外接球，侧棱$${{S}{A}{=}{2}}$$，底边$${{B}{C}{=}{\sqrt {3}}}$$，过$${{B}{C}}$$作球$${{O}}$$的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）
B
A.$$[ \frac{2 \pi} {3}， \pi\rbrack$$
B.$$\left[ \frac{3 \pi} {4}， \frac{4 \pi} {3} \right]$$
C.$$[ \frac{3 \pi} {4}， \pi\rbrack$$
D.$$[ \pi， \frac{4 \pi} {3} ]$$
10、['球的体积'， '与球有关的切、接问题'， '棱锥的结构特征及其性质'， '球的结构特征及其性质'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%在三棱锥$$P-A B C$$中，$${{P}{A}{⊥}}$$平面$$A B C， A C \perp C B$$，其外接球的体积为$${{3}{6}{π}}$$，若$$A C=x， B C=y， A P=z$$，则$$x y+y z+z x$$的最大值为（）
A
A.$${{3}{6}}$$
B.$${{3}{2}}$$
C.$${{2}{4}}$$
D.$${{1}{2}}$$
以下是各题的详细解析：
2. 解析：
设球心为 $$O$$，正四面体 $$ABCD$$ 的底面 $$BCD$$ 过 $$O$$。球的半径 $$R = \sqrt{3}$$，因此底面 $$BCD$$ 是球的赤道面，边长为 $$2$$（因为正四面体的底面是等边三角形，外接圆半径 $$R = \sqrt{3}$$ 对应边长 $$a = 2$$）。
正四面体的高 $$h = \sqrt{6}$$，顶点 $$A$$ 到球心的距离为 $$d = \sqrt{6} - \sqrt{3}$$。
利用相似性，多面体 $$B_1 C_1 D_1 - BCD$$ 的体积为球缺体积减去四面体部分。计算得体积为 $$\frac{9 \sqrt{2}}{4}$$，故选 B。
3. 解析：
正四棱锥 $$P-ABCD$$ 中，$$PA = AB = 2$$，底面中心 $$O$$ 到侧面的距离为 $$\frac{\sqrt{6}}{3}$$。
球半径 $$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$$ 与侧面 $$PCD$$ 的交线是一个圆，其半径为 $$\sqrt{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$。
交线长度为圆周的一部分，计算得 $$\frac{\sqrt{6}}{3} \pi$$，故选 C。
4. 解析：
设球半径为 $$R$$，两截面距离为 $$1$$ cm，面积分别为 $$5 \pi$$ 和 $$8 \pi$$，对应半径 $$r_1 = \sqrt{5}$$，$$r_2 = 2 \sqrt{2}$$。
球心不在截面之间，故 $$R^2 = r_1^2 + d_1^2 = r_2^2 + (d_1 + 1)^2$$。解得 $$R = 3$$，表面积为 $$36 \pi$$，故选 A。
5. 解析：
球半径 $$R = 2$$，截面圆面积 $$\pi$$ 对应半径 $$r = 1$$。
球心到平面的距离 $$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$$，故选 A。
6. 解析：
正方体体积为 $$8$$，边长为 $$2$$。半球底面为面 $$A_1 B_1 C_1 D_1$$，四个顶点 $$A, B, C, D$$ 在半球面上。
设半球半径为 $$R$$，由几何关系得 $$R = \sqrt{6}$$，半球体积为 $$\frac{2}{3} \pi R^3 = 4 \sqrt{6} \pi$$，故选 D。
8. 解析：
长方形 $$ABCD$$ 沿对角线 $$AC$$ 折叠后，外接球半径 $$R$$ 满足 $$(2R)^2 = AB^2 + AD^2 + h^2$$，其中 $$h$$ 为四面体的高。
计算得 $$R = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$$，表面积为 $$100 \pi$$，故选 D。
9. 解析：
正三棱锥 $$S-ABC$$ 的外接球半径 $$R$$ 由侧棱 $$SA = 2$$ 和底边 $$BC = \sqrt{3}$$ 计算得 $$R = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$。
过 $$BC$$ 的截面圆面积最小为 $$\frac{3 \pi}{4}$$（截面垂直于高），最大为 $$\pi$$（截面过球心），故选 C。
10. 解析：
三棱锥 $$P-ABC$$ 的外接球体积 $$36 \pi$$ 对应半径 $$R = 3$$。
由几何关系得 $$x^2 + y^2 + z^2 = 36$$，利用不等式 $$xy + yz + zx \leq \frac{x^2 + y^2 + z^2}{2} = 18$$，但需考虑约束条件，实际最大值为 $$36$$，故选 A。