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正确率40.0%空间四边形两对角线的长分别为$${{6}}$$和和$${{8}}$$，所成的角为$${{4}{5}^{∘}}$$，连接各边中点所得四边形的面积是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{6}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{1}{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{2}{4}{\sqrt {2}}}$$
2、['棱锥的结构特征及其性质']正确率40.0%甲、乙两支足球队决赛互罚点球时，罚球点离球门约$${{1}{0}}$$米，乙队守门员违例向前冲出了$${{3}}$$米，扑住了球，结果被判犯规，扑球无效.事实上乙队守门员违例向前冲出$${{3}}$$米后，其要封堵的区域面积变小了，此时乙队守门员需封堵区域的面积是原来球门面积的（）
D
A.$$\frac{3} {1 0}$$
B.$$\frac{7} {1 0}$$
C.$$\frac{9} {1 0 0}$$
D.$$\frac{4 9} {1 0 0}$$
4、['棱锥的结构特征及其性质'， '棱柱、棱锥、棱台的体积'， '棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积']正确率60.0%一个底面边长为$${{3}}$$的正三棱锥的体积与表面积为$${{2}{4}}$$的正方体的体积相等，则该正三棱锥的高为（）
C
A.$${{1}{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$$\frac{3 2 \sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{3 2 \sqrt{3}} {9}$$
D.$${{1}{2}}$$
5、['棱锥的结构特征及其性质'， '与球有关的切、接问题'， '球的表面积']正确率60.0%若三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$的四个面都为直角三角形，且$${{P}{A}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}}$$，$${{P}{A}{=}{A}{B}{=}{1}}$$，$${{A}{C}{=}{2}}$$，则三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$的外接球的表面积为（）
B
A.$${{6}{π}}$$
B.$${{5}{π}}$$
C.$${{4}{π}}$$
D.$${{3}{π}}$$
6、['棱锥的结构特征及其性质'， '与球有关的切、接问题'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率40.0%设点$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$为球$${{O}}$$的球面上三点，$${{O}}$$为球心．球$${{O}}$$的表面积为$${{1}{0}{0}{π}}$$，且$${{△}{A}{B}{C}}$$是边长为$${{4}{\sqrt {3}}}$$的正三角形，则三棱锥$${{O}{−}{A}{B}{C}}$$的体积为（）
B
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{1}{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{2}{4}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{3}{6}{\sqrt {3}}}$$
9、['空间中直线与平面的位置关系'， '棱锥的结构特征及其性质'， '点到平面的距离'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率40.0%三棱锥$${{D}{−}{A}{B}{C}}$$中，$${{C}{D}{⊥}}$$底面$${{A}{B}{C}{，}{△}{A}{B}{C}}$$为正三角形，若$${{A}{E}{/}{/}{C}{D}{，}{A}{B}{=}{C}{D}{=}{A}{E}{=}{2}}$$，则三棱锥$${{D}{−}{A}{B}{C}}$$与三棱锥$${{E}{−}{A}{B}{C}}$$的公共部分构成的几何体的体积为（）
B
A.$$\frac{\sqrt{3}} {9}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
10、['球的体积'， '与球有关的切、接问题'， '棱锥的结构特征及其性质'， '立体几何中的折叠问题'， '二面角']正确率40.0%四边形$${{A}{B}{D}{C}}$$是菱形，$${{∠}{B}{A}{C}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}{A}{B}{=}{\sqrt {3}}}$$，沿对角线$${{B}{C}}$$翻折后，二面角$${{A}{−}{B}{C}{−}{D}}$$的余弦值为$$- \frac{1} {3}$$，则三棱锥$${{D}{−}{A}{B}{C}}$$的外接球的体积为（）
B
A.$${\sqrt {5}{π}}$$
B.$${\sqrt {6}{π}}$$
C.$${\sqrt {7}{π}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}{π}}$$
1. 解析：
连接空间四边形各边中点所得四边形是一个平行四边形，其边长等于对角线长度的一半，即 $$3$$ 和 $$4$$。由于对角线所成的角为 $$45^\circ$$，平行四边形的面积计算公式为：
$$S = 3 \times 4 \times \sin 45^\circ = 12 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$$
因此，答案为 $$A.6\sqrt{2}$$。
2. 解析：
守门员封堵的区域面积与距离的平方成反比。初始距离为 $$10$$ 米，冲出 $$3$$ 米后距离变为 $$7$$ 米。因此，封堵区域面积变为原来的：
$$\left(\frac{7}{10}\right)^2 = \frac{49}{100}$$
答案为 $$D.\frac{49}{100}$$。
4. 解析：
正三棱锥的底面积 $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4}$$。设高为 $$h$$，则体积 $$V = \frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{3}}{4} \times h = \frac{3\sqrt{3}}{4}h$$。
正方体的表面积为 $$24$$，边长为 $$2$$，体积为 $$8$$。由题意：
$$\frac{3\sqrt{3}}{4}h = 8 \Rightarrow h = \frac{32\sqrt{3}}{9}$$
答案为 $$C.\frac{32\sqrt{3}}{9}$$。
5. 解析：
三棱锥 $$P-ABC$$ 的外接球直径为 $$PC$$。由勾股定理：
$$PC = \sqrt{PA^2 + AC^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$
球的半径 $$R = \frac{\sqrt{5}}{2}$$，表面积 $$S = 4\pi R^2 = 5\pi$$。
答案为 $$B.5\pi$$。
6. 解析：
球的表面积为 $$100\pi$$，半径 $$R = 5$$。正三角形 $$ABC$$ 的外接圆半径 $$r = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$$。
三棱锥的高 $$h = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$$。底面积 $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4\sqrt{3})^2 = 12\sqrt{3}$$。
体积 $$V = \frac{1}{3} \times 12\sqrt{3} \times 3 = 12\sqrt{3}$$。
答案为 $$B.12\sqrt{3}$$。
9. 解析：
公共部分是一个小三棱锥，其高为 $$1$$（因为 $$AE = CD = 2$$ 且平行），底面积与 $$ABC$$ 相同。正三角形 $$ABC$$ 的面积为 $$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3}$$。
体积 $$V = \frac{1}{3} \times \sqrt{3} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。
答案为 $$B.\frac{\sqrt{3}}{3}$$。
10. 解析：
菱形边长为 $$\sqrt{3}$$，对角线 $$BC = 2 \times \sqrt{3} \times \sin 30^\circ = \sqrt{3}$$。翻折后二面角余弦为 $$-\frac{1}{3}$$，利用空间几何关系可求得外接球半径 $$R = \frac{\sqrt{6}}{2}$$。
球的体积 $$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \sqrt{6}\pi$$。
答案为 $$B.\sqrt{6}\pi$$。