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正确率40.0%在棱长为$${{2}}$$的正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$${{E}}$$为棱$${{B}{C}}$$的中点，$${{F}}$$是侧面$${{B}_{1}{B}{C}{{C}_{1}}}$$内的动点，若$${{A}_{1}{F}{/}{/}}$$平面$${{A}{{D}_{1}}{E}}$$，则点$${{F}}$$轨迹的长度为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\frac{3 \sqrt2} {2}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
6、['命题及其关系'， '多面体']正确率80.0%下列命题：
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
②各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；
③各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥.
其中真命题的个数是$${{(}{)}}$$
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
5、在棱长为$$2$$的正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，点$$E$$为棱$$BC$$的中点，$$F$$是侧面$$B_1BCC_1$$内的动点，要求$$A_1F \parallel \text{平面} AD_1E$$。我们需要求点$$F$$的轨迹长度。
步骤1：建立坐标系
设正方体的顶点坐标如下：
$$A(0,0,0)$$, $$B(2,0,0)$$, $$C(2,2,0)$$, $$D(0,2,0)$$,
$$A_1(0,0,2)$$, $$B_1(2,0,2)$$, $$C_1(2,2,2)$$, $$D_1(0,2,2)$$。
点$$E$$为$$BC$$的中点，坐标为$$E(2,1,0)$$。
步骤2：确定平面$$AD_1E$$的方程
平面$$AD_1E$$由点$$A(0,0,0)$$, $$D_1(0,2,2)$$, $$E(2,1,0)$$确定。
计算两个向量：
$$\vec{AD_1} = (0,2,2)$$,
$$\vec{AE} = (2,1,0)$$。
平面的法向量为$$\vec{n} = \vec{AD_1} \times \vec{AE} = (-2,4,-4)$$，简化得$$(1,-2,2)$$。
平面方程为$$x - 2y + 2z = 0$$。
步骤3：确定$$A_1F$$与平面平行
$$A_1F$$平行于平面$$AD_1E$$，意味着$$A_1F$$与平面的法向量垂直。
设$$F$$的坐标为$$(2,y,2)$$（因为$$F$$在侧面$$B_1BCC_1$$内，$$x=2$$，$$z \in [0,2]$$）。
向量$$\vec{A_1F} = (2,y,0)$$。
由垂直条件：$$\vec{A_1F} \cdot \vec{n} = 0$$，即$$2 \cdot 1 + y \cdot (-2) + 0 \cdot 2 = 0$$，解得$$y = 1$$。
因此，$$F$$的轨迹为直线$$(2,1,z)$$，$$z \in [0,2]$$，长度为$$2$$。
但进一步分析发现，$$F$$必须在侧面$$B_1BCC_1$$内，即$$z \in [0,2]$$，$$y \in [0,2]$$。因此，轨迹为$$y=1$$，$$z \in [0,2]$$，长度为$$2$$。
然而，题目选项中没有$$2$$，重新检查计算：
实际上，$$F$$的轨迹是$$(2,1,z)$$，$$z \in [0,2]$$，长度为$$2$$，但选项中有$$2\sqrt{2}$$（D选项），可能是题目描述有其他限制。
进一步分析，如果$$F$$在侧面$$B_1BCC_1$$内，且$$A_1F \parallel \text{平面} AD_1E$$，则$$F$$的轨迹应为$$(2,1,z)$$，长度为$$2$$，但选项不符。
可能是题目描述有误，或者轨迹为其他情况。
重新考虑几何意义：$$A_1F$$平行于平面$$AD_1E$$，意味着$$F$$在过$$A_1$$且平行于$$AD_1E$$的平面上。该平面与侧面$$B_1BCC_1$$的交线即为$$F$$的轨迹。
计算平行平面的方程：$$x - 2y + 2z = d$$，代入$$A_1(0,0,2)$$得$$d=4$$。
平面与侧面$$B_1BCC_1$$（$$x=2$$）的交线为$$2 - 2y + 2z = 4$$，即$$-2y + 2z = 2$$，或$$-y + z = 1$$。
在$$y \in [0,2]$$，$$z \in [0,2]$$的范围内，交点为$$(2,0,1)$$和$$(2,1,2)$$。
轨迹为连接这两点的线段，长度为$$\sqrt{(2-2)^2 + (1-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$$。
因此，正确答案为$$B$$。
6、判断关于正棱锥的命题：
命题①：底面是正多边形的棱锥不一定是正棱锥，因为侧棱可能不等长。
命题②：各侧棱的长都相等的棱锥不一定是正棱锥，因为底面可能不是正多边形。
命题③：各侧面是全等的等腰三角形的棱锥不一定是正棱锥，因为底面可能不是正多边形。
因此，三个命题均为假命题，正确答案为$$A$$。