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正确率40.0%一个正三棱锥形木块$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$的各条棱长均为$${{2}{0}{{c}{m}}{，}}$$若一只蚂蚁从点$${{A}}$$出发在棱锥的侧面爬行，且经过侧棱$${{P}{C}}$$的中点，最后又回到点$${{A}{，}}$$则其爬行的最短路径的长为（）
C
A.$${{1}{0}{\sqrt {3}}{{c}{m}}}$$
B.$${{2}{0}{\sqrt {3}}{{c}{m}}}$$
C.$${{1}{0}{(}{\sqrt {3}}{+}{\sqrt {7}}{)}{{c}{m}}}$$
D.$${{1}{0}{\sqrt {7}}{{c}{m}}}$$
5、['路径最短问题'， '多面体的展开图']正确率40.0%古代数学名著$${《}$$数学九章$${》}$$中有云：$${{“}}$$有木长三丈，围之八尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？$${{”}}$$意思为：圆木长$${{3}}$$丈，圆周为$${{8}}$$尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：$${{1}}$$丈即$${{1}{0}}$$尺$${）{（}}$$）
B
A.$${{3}{2}}$$尺
B.$${{3}{4}}$$尺
C.$${{3}{6}}$$尺
D.$${{3}{8}}$$尺
10、['圆锥的结构特征及其性质'， '多面体的展开图']正确率60.0%表面积为$${{3}{π}}$$的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{π}}$$
D.$${{2}{π}}$$
2、正三棱锥蚂蚁爬行最短路径解析：
将正三棱锥的侧面展开成平面图，得到一个由三个全等等腰三角形组成的扇形。设点 $$A$$ 展开后为 $$A$$ 和 $$A'$$，侧棱 $$PC$$ 的中点为 $$M$$。蚂蚁从 $$A$$ 出发，经过 $$M$$ 后回到 $$A$$，其路径在展开图中为直线段 $$AMA'$$。
计算几何关系：
1. 每个等腰三角形的腰长为 $$20 \text{cm}$$，底边长为 $$20 \text{cm}$$，故顶角为 $$60^\circ$$（因为三个三角形拼合为 $$180^\circ$$）。
2. 展开图中，$$A$$ 和 $$A'$$ 的距离为 $$20 \text{cm}$$（因为 $$AA'$$ 对应底面边长）。
3. 点 $$M$$ 为 $$PC$$ 的中点，故在展开图中，$$M$$ 到 $$A$$ 和 $$A'$$ 的距离均为 $$10 \sqrt{3} \text{cm}$$（利用勾股定理计算）。
最短路径为 $$AM + MA' = 10\sqrt{3} + 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \text{cm}$$。
正确答案为 B。
5、葛藤绕圆木问题解析：
将圆木侧面展开为矩形，高度为 $$30 \text{尺}$$（3丈），宽度为 $$8 \text{尺}$$（周长）。葛藤绕圆木两周，相当于在展开图中跨越两个周期（$$2 \times 8 = 16 \text{尺}$$ 宽度）。
葛藤的路径为斜边，利用勾股定理计算：
$$ \text{斜边长度} = \sqrt{30^2 + 16^2} = \sqrt{900 + 256} = \sqrt{1156} = 34 \text{尺} $$
因此，葛藤的最短长度为 $$34 \text{尺}$$。
正确答案为 B。
10、圆锥表面积与展开图解析：
设圆锥的底面半径为 $$r$$，母线长为 $$l$$。题目给出：
1. 表面积为 $$3\pi$$，即 $$\pi r l + \pi r^2 = 3\pi$$，化简得 $$r(l + r) = 3$$。
2. 侧面展开图为半圆，故展开弧长等于圆锥底面周长，且半圆的半径为母线长 $$l$$。因此：
$$ \pi l = 2\pi r \implies l = 2r $$
将 $$l = 2r$$ 代入表面积方程：
$$ r(2r + r) = 3 \implies 3r^2 = 3 \implies r = 1 $$
圆锥的底面直径为 $$2r = 2$$。
正确答案为 B。