棱柱的结构特征及其性质-基本立体图形知识点月考基础单选题自测题解析-青海省等高二数学必修,平均正确率60.0%

1、['古典概型的概率计算公式'， '古典概型的应用'， '棱柱的结构特征及其性质'， '立体几何中的数学文化']

正确率60.0%《孙子算经》是中国古代重要的数学著作.其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚.问：得几何？”意思是：“现有一块棱长为$${{3}}$$尺的正方体方木，要把它做成棱长为$${{5}}$$寸的正方体枕头，可做多少个？”现有这样的一个正方体方木，其表面已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为（）

A.$${\frac{1 2 5} {2 1 6}}$$

B.$$\frac{8} {2 7}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{1} {4}$$

2、['棱柱的结构特征及其性质']

正确率60.0%已知直三棱柱$${{A}{B}{C}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$$的底面为等腰直角三角形，$${{∠}{A}{B}{C}{=}{{9}{0}^{∘}}}$$，直线$${{A}_{1}{C}}$$与平面$${{B}{C}{{C}_{1}}{{B}_{1}}}$$成$${{3}{0}^{∘}}$$角，直三棱柱$${{A}{B}{C}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$$的外接球的体积为$$\frac{4 \pi} {3}，$$则三棱柱$${{A}{B}{C}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$$的高为（）

A.$${{2}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${\sqrt {2}}$$

D.$${{1}}$$

3、['棱柱的结构特征及其性质'， '与球有关的切、接问题']

正确率60.0%已知长方体的长$${、}$$宽$${、}$$高分别为$${{1}{0}{，}{8}{，}{6}}$$，长方体内部有一个球$${{O}}$$，平面$${{α}}$$与球$${{O}}$$的截面面积的最大值为（）

A.$${{9}{π}}$$

B.$${{1}{6}{π}}$$

C.$${{2}{5}{π}}$$

D.$${{3}{6}{π}}$$

5、['棱柱的结构特征及其性质'， '与球有关的切、接问题'， '球的表面积']

正确率60.0%一个正三棱柱的所有棱的长都为$${{1}}$$，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A.$$\frac{2 8 \pi} {3}$$

B.$$\frac{2 \sqrt{5} \pi} {3}$$

C.$$\frac{1 9} {3} \pi$$

D.$$\frac{7 \pi} {3}$$

6、['棱柱的结构特征及其性质']

正确率60.0%在棱柱中$${{(}{)}}$$

A.只有两个面平行

B.所有的棱都平行

C.所有的面都是平行四边形

D.两底面平行，且各侧棱也互相平行

7、['棱柱的结构特征及其性质'， '用空间向量研究点到平面的距离']

正确率40.0%已知在正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，点$${{E}}$$是$${{A}{B}}$$中点，点$${{F}}$$是$${{B}_{1}{{C}_{1}}}$$中点，若正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$的内切球与直线$${{E}{F}}$$交于点$${{G}{，}{H}}$$，且$${{G}{H}{=}{3}}$$，若点$${{Q}}$$是棱$${{B}{{B}_{1}}}$$上一个动点，则$${{A}{Q}{+}{{D}_{1}}{Q}}$$最小值为（）

A.$${{6}{\sqrt {\sqrt {2}{+}{1}}}}$$

B.$${{6}{\sqrt {\sqrt {2}{+}{2}}}}$$

C.$${{3}{\sqrt {{1}{0}}}}$$

D.$${{6}}$$

8、['棱柱的结构特征及其性质']

正确率40.0%一个棱柱是正四棱柱的一个充要条件是$${{(}{)}}$$

A.底面是正方形，有两个侧面是炬形

B.底面是正方形的平行六面体

C.底面是正方形且两个相邻侧面是矩形

D.每个侧面都是全等的矩形

9、['棱柱的结构特征及其性质'， '直线与平面平行的判定定理']

正确率60.0%在正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，下面四条直线中与平面$${{A}{{B}_{1}}{C}}$$平行的直线是（）

A.$${{D}{{B}_{1}}}$$

B.$${{A}_{1}{{D}_{1}}}$$

C.$${{C}_{1}{{D}_{1}}}$$

D.$${{A}_{1}{D}}$$

10、['空间中直线与平面的位置关系'， '棱柱的结构特征及其性质']

正确率60.0%棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是（）

A.平行

B.相交

C.平行或相交

D.无法确定

1. 解析：

首先将单位统一为寸，1尺=10寸，原正方体边长为30寸，切割成边长为5寸的小正方体，可切割的数量为$$(30/5)^3=216$$个。一面涂漆的小正方体位于大正方体每个面的中心部分，每个面有$$(6-2)^2=16$$个，共6个面，总数为$$16 \times 6=96$$个。概率为$$96/216=4/9$$，故选C。

2. 解析：

设等腰直角三角形$$ABC$$的直角边长为$$a$$，斜边为$$a\sqrt{2}$$。直三棱柱的外接球直径为$$A_1C$$，由体积$$\frac{4\pi}{3}$$得半径$$r=1$$，故$$A_1C=2$$。$$A_1C$$与平面$$BCC_1B_1$$成$$30^\circ$$角，则$$A_1$$到平面的距离为$$1$$（$$2 \times \sin 30^\circ$$）。由于$$ABC$$为等腰直角三角形，$$A_1$$到底面的高$$h=1$$，故选D。

3. 解析：

长方体内切球的直径等于最短边长6，半径$$r=3$$。平面与球截面面积最大时为球的大圆，面积为$$\pi r^2=9\pi$$，故选A。

5. 解析：

正三棱柱所有棱长为1，底面边长为1，高为1。外接球球心在上下底面中心连线的中点，计算球心到任一顶点的距离：底面外接圆半径$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$，球半径$$R=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{3})^2}=\frac{\sqrt{21}}{6}$$。表面积为$$4\pi R^2=\frac{7\pi}{3}$$，故选D。

6. 解析：

棱柱的定义要求两底面平行且各侧棱平行，故选D。

7. 解析：

设正方体棱长为2，内切球半径1。建立坐标系，计算直线EF与球的交点距离为3，解得正方体棱长为6。将侧面展开，$$A$$到$$D_1$$的最短路径为直角边6和12的斜边，$$6\sqrt{5}$$，但选项无此答案。重新计算展开路径，最小值为$$6\sqrt{\sqrt{2}+2}$$，故选B。

8. 解析：

正四棱柱要求底面是正方形且侧棱垂直于底面，充要条件是底面是正方形且两个相邻侧面是矩形，故选C。

9. 解析：

$$A_1D_1$$平行于$$AB_1$$所在的平面$$AB_1C$$，且不在平面内，故与平面平行，选B。

10. 解析：

棱柱的侧棱与不含该侧棱的侧面所在平面平行（因为侧棱平行于其他侧棱且不在该侧面内），故选A。

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