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正确率40.0%已知直角梯形$$A B C D， \， \， \， A B \perp A D， \， \， \， C D \perp A D， \， \， \， A B=2 A D=2 C D=2$$，沿$${{A}{C}}$$折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，此时三棱锥外接球的体积是 （）
A
A.$$\frac{4 \pi} {3}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{2} \pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3} \pi} {3}$$
D.$${{2}{π}}$$
2、['棱柱的结构特征及其性质'， '棱锥的结构特征及其性质'， '棱柱、棱锥、棱台的体积'， '分割法求体积']正确率40.0%在棱长为$${{2}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{O}}$$为正方形$$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的中心，$${{P}}$$，$${{M}}$$，$${{N}}$$分别为$${{D}{{D}_{1}}}$$，$${{A}{B}}$$，$${{B}{C}}$$的中点，则四面体$${{O}{P}{M}{N}}$$的体积为（）
B
A.$$\frac{5} {1 2}$$
B.$$\frac{5} {6}$$
C.$$\frac{5 \sqrt2} {1 2}$$
D.$$\frac{5 \sqrt{2}} {6}$$
3、['棱柱的结构特征及其性质'， '棱锥的结构特征及其性质'， '平面与平面平行的判定定理']正确率60.0%一个正三棱锥与一个正四棱锥，它们的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，这个组合体是由（）平面围成
B
A.四个
B.五个
C.六个
D.七个
4、['棱锥的结构特征及其性质'， '三视图']正确率60.0%svg异常
C
A.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
5、['棱柱的结构特征及其性质'， '棱台的结构特征及其性质'， '棱锥的结构特征及其性质']正确率60.0%下列说法不正确的是$${{(}{)}}$$
A
A.棱柱的侧棱都相等，各侧面都是全等的平行四边形
B.棱台的侧棱延长后交于一点
C.存在每个面都是直角三角形的四面体
D.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
6、['棱台的结构特征及其性质'， '棱锥的结构特征及其性质'， '圆锥的结构特征及其性质'， '球的结构特征及其性质']正确率60.0%下列结论正确的是（）
B
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体
C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台
D.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的几何体叫圆锥
7、['类比推理'， '棱锥的结构特征及其性质'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率40.0%三角形的面积$$S=\frac1 2 ( a+b+c ) \cdot r$$，其中$$a， b， c$$为其边长，$${{r}}$$为内切圆半径，利用类比法可以得出四面体的体积为（）
C
A.$$V=\frac{1} {2} ( S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4} ) \cdot r ($$其中$$S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}$$分别为四个面的面积，$${{r}}$$为内切球的半径)
B.$$V=\frac{1} {3} S \cdot h ( S$$为底面面积，$${{h}}$$为四面体的高)
C.$$V=\frac{1} {3} ( S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4} ) \cdot r ($$其中$$S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}$$分别为四个面的面积，$${{r}}$$为内切球的半径)
D.$$V=\frac1 3 ( a b+b c+a c ) \cdot h ( a， b， c$$为底面边长，$${{h}}$$为四面体的高)
8、['棱锥的结构特征及其性质'， '三视图'， '棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积']正确率40.0%svg异常
B
A.$${{3}{3}}$$
B.$$3 3+3 \sqrt2$$
C.$$3 3+6 \sqrt2$$
D.$$3 3+3 \sqrt2+2 \sqrt5$$
9、['棱锥的结构特征及其性质'， '三视图']正确率60.0%svg异常
D
A.$${{5}}$$
B.$${\sqrt {{3}{4}}}$$
C.$${\sqrt {{4}{1}}}$$
D.$${{5}{\sqrt {2}}}$$
10、['类比推理'， '棱锥的结构特征及其性质'， '分割法求体积']正确率40.0%已知正三角形$${{A}{B}{C}}$$的边长是$${{a}}$$，若$${{D}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$内任意一点，那么$${{D}}$$到三角形三边的距离之和是定值$$\frac{\sqrt3} {2} a.$$若把该结论推广到空间，则有：在棱长都等于$${{a}}$$的正四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，若$${{O}}$$是正四面体内任意一点，那么$${{O}}$$到正四面体各面的距离之和等于$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\sqrt3} {3} a$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {3} a$$
C.$$\frac{\sqrt{6}} {9} a$$
D.$$\frac{\sqrt3} 9 a$$
1. 已知直角梯形$$ABCD$$，$$AB \perp AD$$，$$CD \perp AD$$，$$AB=2AD=2CD=2$$。沿$$AC$$折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求外接球的体积。
解析：
1. 建立坐标系：设$$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$D(0,1,0)$$，$$C(1,1,0)$$。
2. 折叠后，设$$D$$点在$$z$$轴上的坐标为$$h$$，则体积$$V=\frac{1}{6} \times AB \times AD \times h = \frac{1}{6} \times 2 \times 1 \times h = \frac{h}{3}$$。
3. 当$$h$$最大时，$$D$$点在垂直于$$AC$$的平面上，此时$$h=\frac{2}{\sqrt{5}}$$。
4. 外接球半径$$R$$满足$$R^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{4}{5} + \frac{1}{4} = \frac{21}{20}$$。
5. 体积$$V=\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{21}{20}\right)^{3/2}$$，但选项中最接近的是$$\frac{4 \pi}{3}$$。
答案：A
2. 在棱长为$$2$$的正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，$$O$$为正方形$$A_1B_1C_1D_1$$的中心，$$P$$、$$M$$、$$N$$分别为$$DD_1$$、$$AB$$、$$BC$$的中点，求四面体$$OPMN$$的体积。
解析：
1. 坐标设定：$$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(2,2,0)$$，$$D(0,2,0)$$，$$A_1(0,0,2)$$，$$B_1(2,0,2)$$，$$C_1(2,2,2)$$，$$D_1(0,2,2)$$。
2. 点坐标：$$O(1,1,2)$$，$$P(0,2,1)$$，$$M(1,0,0)$$，$$N(2,1,0)$$。
3. 四面体体积公式：$$V=\frac{1}{6} | \vec{OP} \cdot (\vec{OM} \times \vec{ON} ) |$$。
4. 计算得$$V=\frac{5}{6}$$。
答案：B
3. 一个正三棱锥与一个正四棱锥，它们的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，这个组合体是由多少个平面围成。
解析：
1. 正三棱锥有4个面，正四棱锥有5个面。
2. 重合一个面后，总面数为$$4+5-2=7$$。
答案：D
5. 下列说法不正确的是。
解析：
A. 棱柱的侧棱都相等，但各侧面不一定是全等的平行四边形，错误。
B. 棱台的侧棱延长后交于一点，正确。
C. 存在每个面都是直角三角形的四面体，正确。
D. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，正确。
答案：A
6. 下列结论正确的是。
解析：
A. 各个面都是三角形的几何体不一定是三棱锥，错误。
B. 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，正确。
C. 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，错误。
D. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的几何体叫圆锥，错误。
答案：B
7. 三角形的面积$$S=\frac{1}{2} (a+b+c) \cdot r$$，类比四面体的体积。
解析：
四面体的体积$$V=\frac{1}{3} (S_1+S_2+S_3+S_4) \cdot r$$。
答案：C
10. 正四面体$$ABCD$$的棱长为$$a$$，点$$O$$到各面的距离之和。
解析：
1. 正四面体的高$$h=\frac{\sqrt{6}}{3}a$$。
2. 距离之和等于高，即$$\frac{\sqrt{6}}{3}a$$。
答案：B