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正确率40.0%已知过球面上三点$$A， ~ B， ~ C$$的截面到球心的距离等于球半径的一半，且$$A C=B C=6， \， \， \， A B=4，$$则此球的表面积为（）
C
A.$${{4}{2}{π}}$$
B.$${{4}{8}{π}}$$
C.$${{5}{4}{π}}$$
D.$${{6}{0}{π}}$$
2、['球的结构特征及其性质']正确率80.0%给出下列说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球面上任意两点的连线是球的直径；
③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆；
④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面；
⑤以半圆的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面叫作球；
⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面.
其中正确的个数是（）
D
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
3、['球的结构特征及其性质']正确率60.0%svg异常
C
A.$${{7}{2}{6}{0}}$$$${{k}{m}}$$
B.$${{6}{8}{7}{0}}$$$${{k}{m}}$$
C.$${{6}{3}{6}{9}}$$$${{k}{m}}$$
D.$${{5}{6}{6}{9}}$$$${{k}{m}}$$
4、['球的结构特征及其性质']正确率80.0%以下几何体中符合球体的结构特征的是（）
D
A.足球
B.篮球
C.乒乓球
D.铅球
5、['球的结构特征及其性质'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率60.0%已知球$${{O}}$$的半径为$${\sqrt {5}}$$，球面上有$${{A}}$$$${、}$$$${{B}}$$$${、}$$$${{C}}$$三点，如果$$A B=A C=2， B C=2 \sqrt{2}$$，则三棱锥$$O-A B C$$ 的体积为（）
D
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
6、['立体几何中的截面、交线问题'， '球的结构特征及其性质'， '平行平面间的距离']正确率40.0%两平行平面截半径为$${{5}}$$的球，若截面面积分别为$${{9}{π}}$$和$${{1}{6}{π}}$$，则这两个平面间的距离是（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{3}}$$或$${{4}}$$
D.$${{1}}$$或$${{7}}$$
7、['棱柱的结构特征及其性质'， '与球有关的切、接问题'， '球的结构特征及其性质'， '棱柱、棱锥、棱台的体积'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$的底面为直角三角形，侧棱长为$${{2}}$$，体积为$${{1}}$$，若此三棱柱的顶点均在同一球面上，则该球半径的最小值为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {6}}$$
D.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
8、['棱柱的结构特征及其性质'， '圆柱的结构特征及其性质'， '圆锥的结构特征及其性质'， '球的结构特征及其性质']正确率60.0%下列几何体中，多面体是（）
B
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
9、['立体几何中的截面、交线问题'， '球的结构特征及其性质'， '立体几何中的数学文化']正确率60.0%朱世杰是元代著名的数学家，有$${{“}}$$中世纪世界最伟大的数学家$${{”}}$$之称．其著作$${《}$$四元玉鉴$${》}$$是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价．$${《}$$四元玉鉴$${》}$$下卷$${{“}}$$杂范类会$${{”}}$$中第一问为：$${{“}}$$今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何？$${{”}}$$大意为现有一个直径为$${{1}{0}}$$的球，从上面截一小部分，截面圆周长为$${{8}{.}{4}}$$，问被截取部分几何体的高为多少．已知朱世杰是以圆周率为$${{3}}$$来计算，则$${《}$$四元玉鉴$${》}$$中此题答案为（）$${{(}}$$注：$$4. 8^{2} \!=\! 2 3. 0 4 )$$
D
A.$${{0}{.}{8}}$$
B.$${{0}{.}{6}}$$
C.$${{0}{.}{4}}$$
D.$${{0}{.}{2}}$$
10、['路径最短问题'， '立体几何位置关系的综合应用'， '棱锥的结构特征及其性质'， '点到平面的距离'， '球的结构特征及其性质'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率40.0%已知球$${{O}}$$的直径$$S C=4， \， \， A， \， \， B$$是球$${{O}}$$表面上的两点，$$\angle A S C=\angle B S C=3 0^{\circ}$$，则下列说法正确的是（）
B
A.线段$${{A}{B}}$$的最长长度为$${{4}}$$
B.当$${{A}{B}}$$最长时，点$${{O}}$$到以$${{A}{B}}$$为直径的球$${{O}}$$的截面圆的距离为$${{1}}$$
C.三棱锥$$S-A B C$$的体积最大值为$${{1}}$$
D.只有$$S， ~ A， ~ C， ~ B$$共面时，$$A B \bot S C$$
1. 解析：
首先计算截面圆的半径。已知三角形$$ABC$$中，$$AC = BC = 6$$，$$AB = 4$$。设$$AB$$的中点为$$D$$，则$$CD$$为高，利用勾股定理：
$$CD = \sqrt{AC^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$
截面圆的半径$$r$$可通过三角形外接圆公式计算：
$$r = \frac{abc}{4S} = \frac{6 \times 6 \times 4}{4 \times \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{2}} = \frac{144}{32\sqrt{2}} = \frac{9}{2\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$$
设球的半径为$$R$$，截面到球心的距离为$$\frac{R}{2}$$，根据勾股定理：
$$r^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2 = R^2 \Rightarrow \left(\frac{9\sqrt{2}}{4}\right)^2 + \frac{R^2}{4} = R^2 \Rightarrow \frac{81 \times 2}{16} = \frac{3R^2}{4}$$
解得$$R^2 = \frac{81 \times 2 \times 4}{16 \times 3} = \frac{648}{48} = 13.5$$，因此球的表面积为：
$$4\pi R^2 = 4\pi \times 13.5 = 54\pi$$
答案为：C。
2. 解析：
①正确，球的半径是球面上任意一点与球心的连线。
②错误，球面上任意两点的连线是弦，只有通过球心的弦才是直径。
③错误，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，而不是圆。
④正确，截面是一个圆面。
⑤错误，以半圆的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面是球面，不是球。
⑥正确，空间中到定点的距离等于定长的所有点构成的曲面是球面。
综上，正确的有①④⑥，共3个。
答案为：D。
3. 解析：
题目不完整，无法解析。
4. 解析：
足球、篮球和乒乓球都是球体，但铅球是实心球体，更符合球体的结构特征。
答案为：D。
5. 解析：
首先计算三角形$$ABC$$的面积。已知$$AB = AC = 2$$，$$BC = 2\sqrt{2}$$，利用余弦定理：
$$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \times AB \times AC} = \frac{4 + 4 - 8}{8} = 0$$
因此$$\angle A = 90^\circ$$，面积为：
$$S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$$
球心$$O$$到平面$$ABC$$的距离$$d$$可通过勾股定理计算：
$$d = \sqrt{R^2 - r^2}$$，其中$$r$$为三角形$$ABC$$的外接圆半径。
由于$$ABC$$是直角三角形，外接圆半径$$r = \frac{BC}{2} = \sqrt{2}$$，因此：
$$d = \sqrt{5 - 2} = \sqrt{3}$$
三棱锥的体积为：
$$V = \frac{1}{3} \times S \times d = \frac{1}{3} \times 2 \times \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$
答案为：D。
6. 解析：
设球的半径为$$R = 5$$，两个截面的面积分别为$$9\pi$$和$$16\pi$$，因此截面半径分别为$$3$$和$$4$$。
根据勾股定理，截面到球心的距离分别为：
$$d_1 = \sqrt{R^2 - r_1^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$$
$$d_2 = \sqrt{R^2 - r_2^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$$
两平面间的距离为$$d_1 + d_2 = 7$$或$$|d_1 - d_2| = 1$$。
答案为：D。
7. 解析：
设三棱柱的底面为直角三角形，直角边为$$a$$和$$b$$，斜边为$$c$$，体积为：
$$V = \frac{1}{2}ab \times 2 = 1 \Rightarrow ab = 1$$
外接球半径的最小值对应于最小斜边$$c$$，即$$a = b = 1$$时，$$c = \sqrt{2}$$。
外接球半径$$R$$满足：
$$R = \sqrt{\left(\frac{c}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{4}{4}} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
答案为：D。
8. 解析：
题目不完整，无法解析。
9. 解析：
球的直径为$$10$$，半径为$$5$$。截面圆周长为$$8.4$$，朱世杰以$$\pi = 3$$计算，因此截面半径$$r$$为：
$$2\pi r = 8.4 \Rightarrow r = \frac{8.4}{6} = 1.4$$
根据球冠的高度公式：
$$h = R - \sqrt{R^2 - r^2} = 5 - \sqrt{25 - 1.96} = 5 - \sqrt{23.04} = 5 - 4.8 = 0.2$$
答案为：D。
10. 解析：
球的直径$$SC = 4$$，半径为$$2$$。设$$A$$和$$B$$在球面上，且$$\angle ASC = \angle BSC = 30^\circ$$。
在球面上，$$A$$和$$B$$的轨迹是两个小圆，其半径为$$r = R \sin 30^\circ = 1$$。
当$$A$$和$$B$$位于同一大圆上时，$$AB$$最长，长度为$$2r = 2$$，因此选项A错误。
当$$AB$$最长时，点$$O$$到截面圆的距离为$$\sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$$，选项B错误。
三棱锥$$S-ABC$$的体积最大值为$$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times 2 = \frac{4}{3}$$，选项C错误。
只有当$$S, A, C, B$$共面时，$$AB \perp SC$$，选项D正确。
答案为：D。