多面体-8.1 基本立体图形知识点回顾基础自测题答案-福建省等高二数学必修,平均正确率64.0%

4、下列结论正确的是$${{(}{)}}$$。

A. 底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥：错误。正三棱锥要求底面是正三角形且顶点在底面的投影是底面中心，仅底面为正三角形不足以保证。

B. 所有几何体的表面都能展开成平面图形：错误。例如球面无法展开成平面图形。

C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥：错误。正六棱锥的底面是正六边形，若侧棱长等于底面边长，则顶点投影不可能在中心，几何上不成立。

D. 一个直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥：正确。这是圆锥的标准定义。

答案：D

8、下列四个命题正确的是$${{(}{)}}$$。

A. 所有的几何体的表面都能展成平面图形：错误。球面等不可展。

B. 棱锥的侧面的个数与底面的边数相等：正确。棱锥的侧面数等于底面边数。

C. 棱柱的各条棱长度都相等：错误。侧棱长度相等，但底面边长不一定等于侧棱长。

D. 棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面：错误。例如斜棱柱的侧面也可能平行，但底面是特定的两个平行面。

答案：B

9、正四棱台体积为$$28$$，上、下底面边长分别为$$2$$和$$4$$，求对角面面积。

设棱台高为$$h$$，体积公式：$$V = \frac{{1}}{{3}} h (S_1 + S_2 + \sqrt{{S_1 S_2}})$$，其中$$S_1 = 2^2 = 4$$，$$S_2 = 4^2 = 16$$。

代入：$$28 = \frac{{1}}{{3}} h (4 + 16 + \sqrt{{4 \times 16}}) = \frac{{1}}{{3}} h (20 + 8) = \frac{{28}}{{3}} h$$

解得：$$h = 3$$。

对角面为等腰梯形，上底为$$2\sqrt{{2}}$$（正方形对角线），下底为$$4\sqrt{{2}}$$，高为棱台斜高。

先求斜高$$l$$：侧面梯形高$$l = \sqrt{{h^2 + \left( \frac{{4-2}}{{2}} \right)^2}} = \sqrt{{9 + 1}} = \sqrt{{10}}$$。

对角面高$$H$$：$$H = \sqrt{{l^2 - \left( \frac{{4\sqrt{{2}} - 2\sqrt{{2}}}}{{2}} \right)^2}} = \sqrt{{10 - \left( \sqrt{{2}} \right)^2}} = \sqrt{{10 - 2}} = \sqrt{{8}} = 2\sqrt{{2}}$$。

对角面面积：$$S = \frac{{1}}{{2}} (2\sqrt{{2}} + 4\sqrt{{2}}) \times 2\sqrt{{2}} = \frac{{1}}{{2}} \times 6\sqrt{{2}} \times 2\sqrt{{2}} = 6\sqrt{{2}} \times \sqrt{{2}} = 6 \times 2 = 12$$。

但选项无12，重新检查：对角面实际为四边形，需用另一方法。

正四棱台对角面是通过不相邻侧棱的截面，为等腰梯形，上下底为上下底面对角线，即$$2\sqrt{{2}}$$和$$4\sqrt{{2}}$$，高为棱台高$$h=3$$。

面积：$$S = \frac{{1}}{{2}} (2\sqrt{{2}} + 4\sqrt{{2}}) \times 3 = \frac{{1}}{{2}} \times 6\sqrt{{2}} \times 3 = 9\sqrt{{2}}$$。

答案：A. $$9\sqrt{{2}}$$