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正确率60.0%若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系为（）
D
A.平行
B.相交
C.异面
D.以上皆有可能
3、['直线与平面所成的角']正确率60.0%如图，在直三棱柱$${{A}{B}{C}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$$中，$${{A}{{A}_{1}}{=}{A}{C}{=}{B}{C}{=}{1}{，}}$$$${{A}{B}{=}{\sqrt {2}}}$$，$${{E}}$$是$${{C}{{C}_{1}}}$$的中点，则直线$${{B}{C}}$$与平面$${{A}_{1}{B}{E}}$$所成角的正弦值为（）
$$None$$
D
A.$$\frac{\sqrt2} 3$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {6}$$
7、['异面直线所成的角'， '直线与平面所成的角']正确率40.0%$${{a}{，}{b}}$$为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形$${{A}{B}{C}}$$的直角边$${{A}{C}}$$所在直线与$${{a}{，}{b}}$$都垂直，斜边$${{A}{B}}$$以直线$${{A}{C}}$$为旋转轴旋转，则下列结论中正确的是（）
$${①}$$当直线$${{A}{B}}$$与$${{a}}$$成60°角时，$${{A}{B}}$$与$${{b}}$$成30°角；
$${②}$$当直线$${{A}{B}}$$与$${{a}}$$成60°角时，$${{A}{B}}$$与$${{b}}$$成60°角；
$${③}$$直线$${{A}{B}}$$与$${{a}}$$所成角的最小值为$${{4}{5}{°}}$$；
$${④}$$直线$${{A}{B}}$$与$${{a}}$$所成角的最小值为$${{6}{0}{°}}$$．
A
A.$${②{③}}$$
B.$${①{④}}$$
C.$${②{④}}$$
D.$${①{③}}$$
8、['直线与平面所成的角']正确率60.0%在三棱锥$${{P}{−}{{A}{B}{C}}}$$中，$${{P}{A}{=}{{A}{C}}{=}{{B}{C}}{，}{{P}{A}}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}{，}{∠}{{A}{C}{B}}{=}{{9}{0}}{^{∘}}{，}{O}}$$为$${{P}{B}}$$的中点，则直线$${{C}{O}}$$与平面$${{P}{A}{C}}$$所成角的余弦值为（）
B
A.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
10、['直线与平面所成的角']正确率40.0%已知四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{A}{B}}$$，$${{B}{C}}$$，$${{B}{D}}$$两两垂直，$${{B}{C}{=}{B}{D}{=}{\sqrt {2}}}$$，$${{A}{B}}$$与平面$${{A}{C}{D}}$$所成角的正切值为$$\frac{1} {2}$$，则点$${{B}}$$到平面$${{A}{C}{D}}$$的距离为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
2、解析：两条不同的直线与同一平面所成的角相等，它们可以平行、相交或异面。例如：
- 平行：两条直线都与平面成相同角度且方向相同。
- 相交：两条直线在平面内相交，且与平面成相同角度。
- 异面：两条直线不在同一平面内，但与平面成相同角度。
因此，答案为 D. 以上皆有可能。
3、解析：建立坐标系，设 $$A(0,0,0)$$，$$B(\sqrt{2},0,0)$$，$$C(0,1,0)$$，$$A_1(0,0,1)$$，$$B_1(\sqrt{2},0,1)$$，$$C_1(0,1,1)$$，$$E(0,1,0.5)$$。
平面 $$A_1BE$$ 的法向量为 $$\vec{n} = \vec{A_1B} \times \vec{A_1E} = (\sqrt{2},0,-1) \times (0,1,-0.5) = (0.5, \sqrt{2}/2, \sqrt{2})$$。
直线 $$BC$$ 的方向向量为 $$\vec{BC} = (-\sqrt{2},1,0)$$。
设夹角为 $$\theta$$，则 $$\sin \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{BC}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{|\sqrt{2}/2|}{\sqrt{0.25 + 0.5 + 2} \cdot \sqrt{2 + 1}} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{11/4} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$。
答案为 D. $$\frac{\sqrt{6}}{6}$$。
7、解析：设 $$a$$ 和 $$b$$ 为互相垂直的直线，$$AC$$ 与 $$a$$、$$b$$ 都垂直。旋转 $$AB$$ 时：
- 当 $$AB$$ 与 $$a$$ 成 $$60^\circ$$ 时，由于 $$a$$ 和 $$b$$ 对称，$$AB$$ 与 $$b$$ 也成 $$60^\circ$$，故 $$②$$ 正确。
- 最小夹角为 $$45^\circ$$（当 $$AB$$ 在 $$a$$ 和 $$b$$ 的角平分线上时），故 $$③$$ 正确。
答案为 A. $$②③$$。
8、解析：设 $$PA = AC = BC = 1$$，建立坐标系，$$A(0,0,0)$$，$$C(1,0,0)$$，$$B(1,1,0)$$，$$P(0,0,1)$$，$$O(0.5,0.5,0.5)$$。
平面 $$PAC$$ 的法向量为 $$\vec{n} = (0,1,0)$$。
直线 $$CO$$ 的方向向量为 $$\vec{CO} = (-0.5,0.5,0.5)$$。
设夹角为 $$\theta$$，则 $$\cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{CO}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{CO}|} = \frac{0.5}{1 \cdot \sqrt{0.25 + 0.25 + 0.25}} = \frac{0.5}{\sqrt{0.75}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。
答案为 C. $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$。
10、解析：设 $$B(0,0,0)$$，$$C(\sqrt{2},0,0)$$，$$D(0,\sqrt{2},0)$$，$$A(0,0,a)$$。
平面 $$ACD$$ 的法向量为 $$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AD} = (\sqrt{2},0,-a) \times (0,\sqrt{2},-a) = (a\sqrt{2}, a\sqrt{2}, 2)$$。
$$AB$$ 与平面 $$ACD$$ 的夹角满足 $$\tan \theta = \frac{1}{2} = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{AB}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{AB}|} = \frac{a \cdot 2}{\sqrt{2a^2 + 2a^2 + 4} \cdot a} = \frac{2}{\sqrt{4a^2 + 4}}$$，解得 $$a = 2$$。
点 $$B$$ 到平面 $$ACD$$ 的距离为 $$\frac{|\vec{n} \cdot \vec{BA}|}{|\vec{n}|} = \frac{|(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 2) \cdot (0,0,-2)|}{\sqrt{8 + 8 + 4}} = \frac{4}{\sqrt{20}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$。
答案为 D. $$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$$。