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正确率40.0%svg异常
D
A.$$\frac{\sqrt{1 3 0}} {1 3}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{3 9}} {1 3}$$
2、['异面直线所成的角'， '二面角'， '直线与平面所成的角']正确率40.0%svg异常
A
A.$$\alpha\leqslant\beta\leqslant\gamma$$
B.$$\beta\leqslant\alpha\leqslant\gamma$$
C.$$\beta\leqslant\gamma\leqslant\alpha$$
D.$$\alpha\leqslant\gamma\leqslant\beta$$
3、['立体几何中的动态问题'， '棱柱、棱锥、棱台的体积'， '直线与平面所成的角']正确率40.0%已知三棱锥$$P-A B C$$的侧棱两两垂直，$$P A=P B=P C=2， \， \， \， Q$$为棱$${{B}{C}}$$上的动点，当$${{A}{Q}}$$与侧面$${{P}{B}{C}}$$所成角取得最大值时，四面体$${{P}{A}{B}{Q}}$$的体积为（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{3} {5}$$
4、['直线与平面所成的角']正确率40.0%svg异常
C
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{6}} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 0}} {4}$$
5、['空间中直线与平面的位置关系'， '空间中平面与平面的位置关系'， '直线与平面所成的角']正确率60.0%已知向量$${{m}^{→}{，}{{n}^{→}}}$$分别是直线$${{l}}$$和平面$${{α}}$$的方向向量和法向量，若$${{m}^{→}}$$与$${{n}^{→}}$$夹角的余弦等于$$\frac{1} {2}，$$则$${{l}}$$与$${{α}}$$所成的角为（）
B
A.$${{6}{0}^{∘}}$$
B.$${{3}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
6、['直线与平面所成的角']正确率60.0%已知长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$A B=C C_{1}=4， \， \， B C=3$$，则直线$${{B}{{C}_{1}}}$$和平面$${{A}{C}{{C}_{1}}{{A}_{1}}}$$所成角的正弦值为 （）
B
A.$$\frac1 {1 2}$$
B.$$\frac{1 2} {2 5}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
7、['二面角'， '直线与平面所成的角']正确率60.0%已知二面角$$\alpha-l-\beta$$是锐二面角，直线$$A B \subset\alpha， \ A B$$与$${{l}}$$所成的角为$$4 5^{\circ}， ~ A B$$与平面$${{β}}$$成$${{3}{0}^{∘}}$$角，则二面角$$\alpha-l-\beta$$的大小为（）
B
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
8、['直线与平面所成的角']正确率40.0%已知正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$，过顶点$${{A}_{1}}$$作平面$${{α}}$$，使得直线$${{A}{C}}$$和$${{B}{{C}_{1}}}$$与平面$${{α}}$$所成的角都为$${{3}{0}^{∘}}$$，这样的平面$${{α}}$$可以有（）
B
A.$${{4}}$$个
B.$${{3}}$$个
C.$${{2}}$$个
D.$${{1}}$$个
9、['异面直线所成的角'， '立体几何中的动态问题'， '直线与平面垂直的性质定理'， '直线与平面所成的角']正确率40.0%svg异常
A
A.当点$${{F}}$$移动至$${{B}{{C}_{1}}}$$中点时，直线$${{A}_{1}{F}}$$与平面$${{B}{D}{{C}_{1}}}$$所成角最大且为$${{6}{0}^{∘}}$$
B.无论点$${{F}}$$在$${{B}{{C}_{1}}}$$上怎么移动，都有$$A_{1} F \perp B_{1} D$$
C.当点$${{F}}$$移动至$${{B}{{C}_{1}}}$$中点时，才有$${{A}_{1}{F}}$$与$${{B}_{1}{D}}$$相交于一点，记为点$${{E}}$$，且$${\frac{A_{1} E} {E F}}=2$$
D.无论点$${{F}}$$在$${{B}{{C}_{1}}}$$上怎么移动，异面直线$${{A}_{1}{F}}$$与$${{C}{D}}$$所成角都不可能是$${{3}{0}^{∘}}$$
10、['直线与平面所成的角']正确率40.0%svg异常
D
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
以下是各题的详细解析：
第3题解析：
已知三棱锥$$P-ABC$$的侧棱两两垂直，且$$PA=PB=PC=2$$。设$$Q$$为棱$$BC$$上的动点，求当$$AQ$$与侧面$$PBC$$所成角最大时，四面体$$PABQ$$的体积。
1. 建立坐标系：设$$P$$在原点，$$PA$$沿$$x$$轴，$$PB$$沿$$y$$轴，$$PC$$沿$$z$$轴。
2. 坐标设定：$$A(2,0,0)$$，$$B(0,2,0)$$，$$C(0,0,2)$$，$$Q$$在$$BC$$上，设$$Q(0,2-2t,2t)$$，$$t \in [0,1]$$。
3. 向量计算：$$AQ = (-2,2-2t,2t)$$，平面$$PBC$$的法向量为$$(1,0,0)$$。
4. 夹角公式：$$\sin \theta = \frac{|AQ \cdot (1,0,0)|}{|AQ|} = \frac{2}{\sqrt{4 + (2-2t)^2 + (2t)^2}}$$。
5. 最大化$$\sin \theta$$等价于最小化分母，即$$(2-2t)^2 + (2t)^2 = 8t^2 -8t +4$$，当$$t=0.5$$时取最小值。
6. 此时$$Q(0,1,1)$$，四面体$$PABQ$$的体积为$$\frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \right| = \frac{2}{3}$$。
答案为$$A$$。
第5题解析：
已知向量$$\vec{m}$$和$$\vec{n}$$分别是直线$$l$$和平面$$\alpha$$的方向向量和法向量，且$$\cos \theta = \frac{1}{2}$$。
1. 直线与平面所成角$$\phi$$满足$$\sin \phi = |\cos \theta| = \frac{1}{2}$$。
2. 因此$$\phi = 30^\circ$$。
答案为$$B$$。
第6题解析：
已知长方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，$$AB=4$$，$$BC=3$$，$$CC_1=4$$，求直线$$BC_1$$与平面$$ACC_1A_1$$所成角的正弦值。
1. 建立坐标系：设$$A(0,0,0)$$，$$B(4,0,0)$$，$$C(4,3,0)$$，$$C_1(4,3,4)$$。
2. 向量$$BC_1 = (0,3,4)$$，平面$$ACC_1A_1$$的法向量为$$\vec{n} = (3,4,0)$$。
3. 夹角公式：$$\sin \phi = \frac{|BC_1 \cdot \vec{n}|}{|BC_1| \cdot |\vec{n}|} = \frac{12}{5 \times 5} = \frac{12}{25}$$。
答案为$$B$$。
第7题解析：
已知二面角$$\alpha-l-\beta$$为锐二面角，直线$$AB \subset \alpha$$与$$l$$成$$45^\circ$$，与平面$$\beta$$成$$30^\circ$$，求二面角的大小。
1. 设$$AB$$与$$l$$的交点为$$O$$，作$$AC \perp \beta$$于$$C$$。
2. 在$$\alpha$$内作$$AD \perp l$$于$$D$$，则$$\angle AOD = 45^\circ$$，$$\angle ABC = 30^\circ$$。
3. 设$$AO = 1$$，则$$AD = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$AC = \frac{1}{2}$$。
4. 二面角的大小为$$\angle ADC$$，$$\sin \angle ADC = \frac{AC}{AD} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，故$$\angle ADC = 45^\circ$$。
答案为$$B$$。
第8题解析：
已知正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$，过顶点$$A_1$$作平面$$\alpha$$，使得$$AC$$和$$BC_1$$与$$\alpha$$所成的角均为$$30^\circ$$，求可能的平面数量。
1. 直线$$AC$$和$$BC_1$$的方向向量分别为$$\vec{u} = (1,1,0)$$和$$\vec{v} = (0,1,1)$$。
2. 设平面$$\alpha$$的法向量为$$\vec{n} = (a,b,c)$$，满足$$\frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{1}{2}$$。
3. 解得$$|a+b| = |b+c|$$，且$$a^2 + b^2 + c^2 = 2(a+b)^2$$。
4. 通过分析可得有4组解，对应4个平面。
答案为$$A$$。