.jpg)
正确率60.0%在正三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，若$$A B=\sqrt{2} B B_{1}$$，则$${{A}{{B}_{1}}}$$与$${{B}{{C}_{1}}}$$所成角的大小为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{5 \pi} {1 2}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
5、['异面直线所成的角'， '平面与平面平行的性质定理']正确率60.0%平面$${{α}}$$过正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的顶点$${{A}}$$，平面$${{α}{/}{/}}$$平面$${{A}_{1}{B}{D}}$$，平面$${{α}{∩}}$$平面$$A B C D=l$$，则直线$${{l}}$$与直线$${{C}{{D}_{1}}}$$所成的角为（）
C
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
6、['异面直线所成的角'， '立体几何中的动态问题'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率40.0%在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D$$中，$${{A}{B}{=}{2}}$$，$${{A}{D}{=}{3}}$$，$${{A}{{A}_{1}}{=}{2}}$$，$${{E}}$$是$${{A}{{A}_{1}}}$$的中点，$${{F}}$$是棱$${{A}{D}}$$上一点，$${{A}{F}{=}{1}}$$，动点$${{P}}$$在底面$$A_{1} B_{1} C_{1} D$$内，且三棱锥$$P-~ B E F$$与三棱锥$$B ~-~ D_{1} E F$$的体积相等，则直线$${{C}{P}}$$与$${{B}{{B}_{1}}}$$所成角的正切值的最小值为（）
C
A.$$\frac{\sqrt{1 3}} {4}$$
B.$$\frac{4 \sqrt{1 3}} {1 3}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
9、['异面直线所成的角'， '二面角'， '直线与平面所成的角']正确率40.0%已知四棱锥$$S-A B C D$$的底面是正方形，侧棱长均相等，$${{E}}$$是线段$${{A}{B}}$$上的点（不含端点），设$${{S}{E}}$$与$${{B}{C}}$$所成的角为$${{θ}_{1}}$$，$${{S}{E}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成的角为$${{θ}_{2}}$$，二面角$$S-A B-C$$的平面角为$${{θ}_{3}}$$，则 （）
D
A.$$\theta_{1} \leqslant\theta_{2} \leqslant\theta_{3}$$
B.$$\theta_{3} \leqslant\theta_{2} \leqslant\theta_{1}$$
C.$$\theta_{1} \leqslant\theta_{3} \leqslant\theta_{2}$$
D.$$\theta_{2} \leqslant\theta_{3} \leqslant\theta_{1}$$
10、['异面直线所成的角']正确率80.0%在直三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，$$\angle A B C=1 2 0^{\， \circ}$$，$$A B=B C=C C_{1}$$，则异面直线$${{A}{{B}_{1}}}$$与$${{B}{{C}_{1}}}$$所成角的余弦值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$- \frac{\sqrt{3}} {4}$$
B.$$- \frac{3} {4}$$
C.$$\frac{3} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
第2题解析：
设正三棱柱$$ABC-A_1B_1C_1$$的底面边长为$$a$$，侧棱长为$$b$$。根据题意，$$AB = \sqrt{2}BB_1$$，即$$a = \sqrt{2}b$$。
建立坐标系，设$$A(0,0,0)$$，$$B(a,0,0)$$，$$C\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}, 0\right)$$，$$B_1(a,0,b)$$，$$C_1\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}, b\right)$$。
向量$$\overrightarrow{AB_1} = (a,0,b)$$，$$\overrightarrow{BC_1} = \left(-\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}, b\right)$$。
计算夹角余弦：
$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{BC_1}}{|\overrightarrow{AB_1}| \cdot |\overrightarrow{BC_1}|} = \frac{-\frac{a^2}{2} + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{-\frac{a^2}{2} + b^2}{a^2 + b^2}$$
代入$$a = \sqrt{2}b$$，得$$\cos \theta = \frac{-b^2 + b^2}{2b^2 + b^2} = 0$$，故夹角为$$\frac{\pi}{2}$$。
答案为：D。
第5题解析：
平面$$\alpha$$平行于平面$$A_1BD$$，且过顶点$$A$$，因此$$\alpha$$与底面$$ABCD$$的交线$$l$$平行于$$BD$$。
直线$$CD_1$$与$$BD$$的夹角为$$60^\circ$$（因为$$\triangle BCD_1$$是等边三角形）。
由于$$l \parallel BD$$，$$l$$与$$CD_1$$的夹角也为$$60^\circ$$。
答案为：C。
第6题解析：
建立坐标系，设$$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$D(0,3,0)$$，$$A_1(0,0,2)$$，$$E(0,0,1)$$，$$F(0,1,0)$$。
三棱锥$$P-BEF$$与$$B-D_1EF$$体积相等，即$$P$$到底面$$BEF$$的距离等于$$B$$到底面$$D_1EF$$的距离。
计算得$$P$$的轨迹为一条直线，最小正切值为$$\frac{\sqrt{13}}{4}$$。
答案为：A。
第9题解析：
设四棱锥$$S-ABCD$$的高为$$h$$，底面边长为$$a$$。
分析三个角的关系：
1. $$\theta_1$$是$$SE$$与$$BC$$的夹角，随$$E$$移动而变化，但始终小于$$\theta_3$$。
2. $$\theta_2$$是$$SE$$与底面的夹角，随$$E$$远离$$A$$而增大。
3. $$\theta_3$$是二面角，固定值且最大。
综上，$$\theta_1 \leq \theta_2 \leq \theta_3$$。
答案为：A。
第10题解析：
设$$AB = BC = CC_1 = 1$$，$$\angle ABC = 120^\circ$$。
建立坐标系，设$$B(0,0,0)$$，$$A(1,0,0)$$，$$C\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$$，$$B_1(0,0,1)$$，$$C_1\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$$。
向量$$\overrightarrow{AB_1} = (-1,0,1)$$，$$\overrightarrow{BC_1} = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$$。
计算夹角余弦：
$$\cos \theta = \frac{1/2 + 1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{1/4 + 3/4 + 1}} = \frac{3/2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{4}$$
答案为：C。