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正确率19.999999999999996% 在三棱锥 $${{A}{−}{B}{C}{D}}$$ 中， $${{∠}{B}{A}{C}{=}{∠}{B}{D}{C}{=}{{6}{0}^{∘}}}$$ ，二面角 $${{A}{−}{B}{C}{−}{D}}$$ 的余弦值为 $${{−}}$$$$\frac{1} {3}$$ ，当三棱锥 $${{A}{−}{B}{C}{D}}$$ 的体积的最大值为$$\frac{\sqrt{6}} {4}$$ 时，其外接球的表面积为 $${{(}{)}}$$
B
A.$${{5}{π}}$$
B.$${{6}{π}}$$
C.$${{7}{π}}$$
D.$${{8}{π}}$$
2、['与球有关的切、接问题'， '二面角'， '球的表面积']正确率19.999999999999996%在三棱锥$${{D}{−}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{B}{=}{B}{C}{=}{2}}$$，$${{∠}{A}{D}{C}{=}{{9}{0}^{∘}}}$$，二面角$${{D}{−}{A}{C}{−}{B}}$$的平面角为$${{3}{0}^{∘}}$$，则三棱锥$${{D}{−}{A}{B}{C}}$$外接球表面积的最小值为（）
B
A.$${{1}{6}{(}{2}{\sqrt {3}}{−}{1}{)}{π}}$$
B.$${{1}{6}{(}{2}{\sqrt {3}}{−}{3}{)}{π}}$$
C.$${{1}{6}{(}{2}{\sqrt {3}}{+}{1}{)}{π}}$$
D.$${{1}{6}{(}{2}{\sqrt {3}}{+}{3}{)}{π}}$$
3、['异面直线所成的角'， '二面角'， '直线与平面所成的角']正确率60.0%若二面角$${{α}{−}{l}{−}{β}}$$的大小为$$\frac{5 \pi} {6}，$$直线$${{m}{⊥}{α}}$$，直线$${{n}{⊂}{β}}$$，则直线$${{m}}$$与$${{n}}$$所成的角取值范围是（）
B
A.$$( 0， ~ \frac{\pi} {2} )$$
B.$$[ \frac{\pi} {3}， \ \frac{\pi} {2} ]$$
C.$$[ \frac{\pi} {6}， \ \frac{\pi} {2} ]$$
D.$$[ \frac{\pi} {6}， \ \frac{\pi} {3} ]$$
4、['异面直线所成的角'， '二面角'， '直线与平面所成的角']正确率19.999999999999996%已知正三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$，点$${{M}}$$在棱$${{P}{A}}$$上运动(不含端点$${{)}}$$，直线$${{M}{C}}$$与$${{A}{C}}$$所成角记为$${{θ}_{1}}$$，直线$${{M}{C}}$$与面$${{A}{B}{C}}$$所成角记为$${{θ}_{2}}$$，二面角$${{M}{−}{B}{C}{−}{A}}$$的大小为$${{θ}_{3}}$$，则（）
D
A.$${{θ}_{1}{<}{{θ}_{2}}{<}{{θ}_{3}}}$$
B.$${{θ}_{1}{<}{{θ}_{3}}{<}{{θ}_{2}}}$$
C.$${{θ}_{2}{<}{{θ}_{3}}{<}{{θ}_{1}}}$$
D.$${{θ}_{2}{<}{{θ}_{1}}{<}{{θ}_{3}}}$$
5、['立体几何中的截面、交线问题'， '椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '二面角']正确率40.0%用与圆柱底面成$${{6}{0}^{∘}}$$角的平面截圆柱，得到一完整的椭圆截面，则该椭圆的离心率为（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
6、['空间直角坐标系'， '空间直角坐标系中两点之间的距离公式'， '二面角']正确率60.0%在直线坐标系中，设$${{A}{(}{3}{，}{2}{)}{，}{B}{(}{−}{2}{，}{−}{3}{)}}$$，沿$${{y}}$$轴把直角坐标平面折成$${{1}{2}{0}^{0}}$$的二面角后，$${{A}{B}}$$的长为$${{(}{)}}$$
D
A.$${\sqrt {6}}$$
B.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {{1}{1}}}}$$
7、['与球有关的切、接问题'， '二面角']正确率60.0%将边长为$${\sqrt {2}}$$的正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$沿对角线$${{A}{C}}$$折成一个直二面角$${{B}{−}{A}{C}{−}{D}}$$.则四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$的内切球的半径为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}{−}{\sqrt {3}}}$$
C.$${\sqrt {2}{−}{1}}$$
D.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$
9、['异面直线所成的角'， '二面角'， '直线与平面所成的角']正确率40.0%设三棱锥$${{V}{−}{A}{B}{C}}$$的底面是正三角形，侧棱长均相等，$${{P}}$$是棱$${{V}{A}}$$上的点（不含端点），记直线$${{P}{B}}$$与直线$${{A}{C}}$$所成角为$${{α}}$$，直线$${{P}{B}}$$与平面$${{A}{B}{C}}$$所成角为$${{β}}$$，二面角$${{P}{−}{A}{C}{−}{B}}$$的平面角为$${{γ}}$$，则（）
B
A.$${{β}{<}{γ}{，}{α}{<}{γ}}$$
B.$${{β}{<}{α}{，}{β}{<}{γ}}$$
C.$${{β}{<}{α}{，}{γ}{<}{α}}$$
D.$${{α}{<}{β}{，}{γ}{<}{β}}$$
以下是各题的详细解析：
1. 解析：
设三棱锥 $$A-BCD$$ 的底面 $$BCD$$ 固定，点 $$A$$ 在空间中满足 $$∠BAC = ∠BDC = 60°$$。通过几何分析，当体积最大时，点 $$A$$ 在二面角 $$A-BC-D$$ 的平分面上。利用体积公式和二面角余弦值，可求得外接球半径 $$R = \sqrt{\frac{5}{2}}$$，表面积为 $$5π$$。答案为 A。
2. 解析：
设 $$AB = BC = 2$$，$$∠ADC = 90°$$，二面角 $$D-AC-B$$ 为 $$30°$$。通过坐标系法或几何法分析，外接球半径的最小值对应于 $$D$$ 在特定位置时。计算得外接球表面积的最小值为 $$16(2\sqrt{3} - 3)π$$。答案为 B。
3. 解析：
二面角 $$α-l-β$$ 为 $$\frac{5π}{6}$$，直线 $$m⊥α$$，直线 $$n⊂β$$。$$m$$ 与 $$n$$ 的夹角范围为 $$[ \frac{π}{6}, \frac{π}{2} ]$$，因为 $$m$$ 与 $$β$$ 的法向量夹角为 $$\frac{π}{3}$$，$$n$$ 在 $$β$$ 内任意方向。答案为 C。
4. 解析：
正三棱锥 $$P-ABC$$ 中，$$M$$ 在 $$PA$$ 上运动。通过几何关系和角度分析，$$θ_2 < θ_1 < θ_3$$。因为 $$θ_2$$ 是线面角最小，$$θ_3$$ 是二面角最大。答案为 D。
5. 解析：
平面与圆柱底面成 $$60°$$ 角截得椭圆，半长轴 $$a = \frac{r}{\cos 60°} = 2r$$，半短轴 $$b = r$$。离心率 $$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。答案为 D。
6. 解析：
点 $$A(3,2)$$ 和 $$B(-2,-3)$$ 折成 $$120°$$ 二面角后，利用空间距离公式计算 $$AB$$ 的长度为 $$\sqrt{11}$$ 的 2 倍，即 $$2\sqrt{11}$$。答案为 D。
7. 解析：
正方形 $$ABCD$$ 边长为 $$\sqrt{2}$$，折成直二面角后，四面体 $$ABCD$$ 的体积和表面积可计算，内切球半径 $$r = \sqrt{2} - 1$$。答案为 C。
9. 解析：
三棱锥 $$V-ABC$$ 底面为正三角形，侧棱相等，$$P$$ 在 $$VA$$ 上运动。通过几何关系分析，$$β < α$$ 且 $$β < γ$$，因为线面角 $$β$$ 最小。答案为 B。