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正确率60.0%在三棱锥$$P-A B C$$中，侧面$${{P}{A}{B}}$$和侧面$${{P}{B}{C}}$$都是边长为$${{2}{a}}$$的正三角形，且$$A C=\sqrt{3} a，$$则二面角$$A-P B-C$$的大小为（）
D
A.$${{9}{0}^{∘}}$$
B.$${{3}{0}^{∘}}$$
C.$${{4}{5}^{∘}}$$
D.$${{6}{0}^{∘}}$$
2、['与球有关的切、接问题'， '立体几何中的折叠问题'， '二面角'， '球的表面积']正确率40.0%在菱形$${{A}{B}{C}{D}}$$中$$A B=6， \， \， \， \angle B A D=6 0^{\circ}，$$连接$${{B}{D}{，}}$$沿$${{B}{D}}$$把$${{△}{A}{B}{D}}$$折起，使得二面角$$A-B D-C$$的大小为$${{6}{0}^{∘}{，}}$$连接$${{A}{C}{，}}$$则四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$的外接球的表面积为（）
D
A.$${{1}{3}{π}}$$
B.$${{2}{4}{π}}$$
C.$${{3}{6}{π}}$$
D.$${{5}{2}{π}}$$
3、['二面角'， '直线与平面垂直的判定定理'， '直线与平面垂直的性质定理']正确率40.0%在三棱锥$$P-A B C$$中，$${{P}{A}{⊥}}$$面$${{A}{B}{C}}$$，$${{△}{A}{B}{C}}$$是边长为$${{2}}$$的正三角形，且$${{P}{A}{=}{\sqrt {3}}}$$，则二面角$$P-B C-A$$的大小为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{3}{0}{°}}$$
B.$${{4}{5}{°}}$$
C.$${{6}{0}{°}}$$
D.无法确定
4、['与球有关的切、接问题'， '二面角'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率19.999999999999996%以$${{A}{B}{C}}$$为底的两个正三棱锥$$P-A B C$$和$$Q-A B C$$内接于同一个球，并且正三棱锥$$P-A B C$$的侧面与底面$${{A}{B}{C}}$$所成的角为$${{4}{5}{°}}$$，记正三棱锥$$P-A B C$$和正三棱锥$$Q-A B C$$的体积分别为$${{V}_{1}}$$和$${{V}_{2}}$$，则$$\frac{V_{1}} {V_{2}}=$$（）
D
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
5、['二面角'， '立体几何中的动态问题'， '平面与平面垂直的判定定理'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率40.0%如图，正三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1} \ subscript {c}$$底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，$${{D}}$$为$${{A}{{A}_{1}}}$$的中点．$${{M}{、}{N}}$$分别是$$B B_{1}， \， \， C C_{1}$$上的动点（含端点），且满足$$B M=C_{1} N$$．当$${{M}{，}{N}}$$运动时，下列结论中不正确的是（）
C
A.平面$${{D}{M}{N}{⊥}}$$平面$${{B}{C}{{C}_{1}}{{B}_{1}}}$$
B.三棱锥$$A_{1}-D M N$$的体积为定值
C.$${{△}{D}{M}{N}}$$可能为直角三角形
D.平面$${{D}{M}{N}}$$与平面$${{A}{B}{C}}$$所成的锐二面角范围为$$( 0， ~ \frac{\pi} {4} ]$$
6、['立体几何中的折叠问题'， '二面角']正确率40.0%把边长为$${{2}}$$的正三角形$${{A}{B}{C}}$$沿$${{B}{C}}$$边上的高线$${{A}{D}}$$折成直二面角，则点$${{A}}$$到$${{B}{C}}$$的距离是（）
C
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 4}} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {4}$$
7、['二面角']正确率40.0%已知三棱锥$$D-A B C$$的三个侧面与底面全等，且$$A B=A C=\sqrt{5}， \， \， B C=2$$，则二面角$$D-B C-A$$的大小$${{(}{)}}$$
C
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
8、['二面角'， '直线与平面所成的角']正确率40.0%如图：在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，设直线$${{A}_{1}{B}}$$与平面$$A_{1} D C B_{1}$$所成角为$${{θ}_{1}{，}}$$二面角$$A_{1}-D C-A$$的大小为$${{θ}_{2}{，}}$$则$${{θ}_{1}{，}{{θ}_{2}}}$$为（）
B
A.$$4 5^{\circ}， \ 3 0^{\circ}$$
B.$$3 0^{\circ} \，， \， 4 5^{\circ}$$
C.$$3 0^{\circ} \，， \， \ 6 0^{\circ}$$
D.$$6 0^{\circ}， \ 4 5^{\circ}$$
9、['二面角'， '棱柱、棱锥、棱台的体积'， '直线与平面垂直的性质定理'， '直线与平面平行的判定定理'， '平面与平面平行的判定定理']正确率40.0%如下图，正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{E}}$$为$${{A}{B}}$$中点，$${{F}}$$在线段$${{D}{{D}_{1}}}$$上.给出下列判断：
①存在点$${{F}}$$使得$${{A}_{1}{C}{⊥}}$$平面$${{B}_{1}{E}{F}}$$；
②在平面$$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$内总存在与平面$${{B}_{1}{E}{F}}$$平行的直线；
③平面$${{B}_{1}{E}{F}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成的二面角(锐角)的大小与点$${{F}}$$的位置无关；
④三棱锥$$B-B_{1} E F$$的体积与点$${{F}}$$的位置无关．
其中正确判断的有（）
D
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
10、['异面直线所成的角'， '二面角']正确率80.0%若二面角$$\alpha-l-\beta$$的大小为$$\frac{5 \pi} {6}$$，直线$${{m}{⊥}{α}}$$，直线$${{n}{⊂}{β}}$$，则直线$${{m}}$$与$${{n}}$$所成的角取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$( 0， \frac{\pi} {2} )$$
B.$$[ \frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {2} ]$$
C.$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {2} ]$$
D.$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {3} ]$$
以下是各题的详细解析：
在正三角形$$PAB$$和$$PBC$$中，边长均为$$2a$$。由于$$AC=\sqrt{3}a$$，可以通过余弦定理计算二面角。设$$PB$$为公共边，建立坐标系或使用几何法，最终求得二面角为$$60^\circ$$。
答案：D
菱形边长为6，$$\angle BAD=60^\circ$$，折起后二面角为$$60^\circ$$。通过几何分析，外接球的半径$$R$$满足$$R^2=13$$，表面积为$$52\pi$$。
答案：D
$$PA \perp ABC$$，$$ABC$$是边长为2的正三角形，$$PA=\sqrt{3}$$。通过建立坐标系或几何法，二面角$$P-BC-A$$的正切值为$$\sqrt{3}$$，即$$60^\circ$$。
答案：C
两正三棱锥内接于同一球，$$P-ABC$$的侧面与底面成$$45^\circ$$。通过对称性分析，$$Q-ABC$$为对跖位置，体积比为$$\frac{1}{2}$$。
答案：B
正三棱柱中，$$D$$为$$AA_1$$中点，$$BM=C_1N$$。选项分析：
A. 平面$$DMN$$始终垂直于侧面$$BCC_1B_1$$，正确。
B. 三棱锥$$A_1-DMN$$体积为定值，正确。
C. $$\triangle DMN$$不可能为直角三角形，错误。
D. 二面角范围为$$(0, \frac{\pi}{4}]$$，正确。
答案：C
正三角形$$ABC$$沿高$$AD$$折成直二面角后，$$A$$到$$BC$$的距离为$$\frac{\sqrt{14}}{2}$$。
答案：C
三棱锥侧面与底面全等，$$AB=AC=\sqrt{5}$$，$$BC=2$$。通过几何分析，二面角$$D-BC-A$$为$$90^\circ$$。
答案：D
正方体中，$$A_1B$$与平面$$A_1DCB_1$$所成角为$$30^\circ$$，二面角$$A_1-DC-A$$为$$45^\circ$$。
答案：B
正方体中，分析各选项：
① 存在$$F$$使$$A_1C \perp$$平面$$B_1EF$$，正确。
② 平面内总存在与$$B_1EF$$平行的直线，正确。
③ 二面角大小与$$F$$位置无关，错误。
④ 体积与$$F$$位置有关，错误。
答案：A
二面角为$$\frac{5\pi}{6}$$，$$m \perp \alpha$$，$$n \subset \beta$$。$$m$$与$$n$$的夹角范围为$$[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$$。
答案：B