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正确率60.0%在三棱柱$${{A}{B}{C}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$$中，侧棱$${{A}{{A}_{1}}{⊥}}$$底面$${{A}{B}{C}{，}}$$底面是边长为$${{2}}$$的等边三角形，点$${{E}}$$是$${{B}_{1}{{C}_{1}}}$$的中点，则$${{E}}$$到平面$${{A}{B}{{B}_{1}}{{A}_{1}}}$$的距离为（）
A
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
5、['立体几何中的截面、交线问题'， '与球有关的切、接问题'， '点到平面的距离']正确率40.0%已知棱长为$${{2}}$$的正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$，球$${{O}}$$与该正方体的各个面相切，则平面$${{A}{C}{{B}_{1}}}$$截此球所得的截面的面积为（）
D
A.$$\frac{8 \pi} {3}$$
B.$$\frac{5 \pi} {3}$$
C.$$\frac{4 \pi} {3}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
6、['立体几何中的截面、交线问题'， '点到平面的距离'， '直线与平面垂直的性质定理']正确率40.0%已知等腰直角三角形$${{A}{B}{C}}$$的三个顶点都在半径为$${{2}}$$的球面上，球心$${{O}}$$到平面$${{A}{B}{C}}$$的距离为$${{1}}$$，过直角边$${{A}{B}}$$作球$${{O}}$$的截面，则截面面积的最小值是（）
C
A.$$\frac{\pi} {2}$$
B.$${{π}}$$
C.$$\frac{3 \pi} {2}$$
D.$${{2}{π}}$$
8、['棱柱的结构特征及其性质'， '异面直线所成的角'， '直线和平面的距离'， '点到平面的距离'， '直线与平面所成的角'， '命题的真假性判断']正确率40.0%正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$的棱长为$${{1}{，}{E}}$$为$${{A}_{1}{{B}_{1}}}$$的中点，则下列四个命题：
$${①}$$点$${{E}}$$到平面$${{A}{B}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$的距离为$$\frac{1} {2}，$$
$${②}$$直线$${{B}{C}}$$与平面$${{A}{B}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$所成的角等于$$4 5^{\circ}$$
$${③}$$空间四边形$${{A}{B}{C}{{D}_{1}}}$$在正方体六个面内形成六个射影，其面积最小值是$$\frac{1} {2}$$
$${④{A}{E}}$$与$${{D}{C}}$$所成角的余弦值为$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
其中真命题的个数是（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
9、['点到直线的距离'， '两条平行直线间的距离'， '直线与椭圆的综合应用'， '点到平面的距离'， '两条直线平行']正确率40.0%已知$${{P}}$$位椭圆$$C : \frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {9}=1$$上任意一点，则$${{P}}$$到直线$${{l}{:}{2}{x}{−}{y}{=}{{1}{2}}}$$距离的最小值为（）
B
A.$$\frac{7} {5}$$
B.$$\frac{7 \sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{1 7} {5}$$
D.$$\frac{1 7 \sqrt{5}} {5}$$
10、['点到平面的距离'， '异面直线'， '平面与平面平行的判定定理']正确率60.0%在下列条件中，可判断平面$${{α}}$$与平面$${{β}}$$平行的是（）
D
A.$${{α}{、}{β}}$$都垂直于平面$${{γ}}$$
B.$${{α}}$$内存在不共线的三点到平面$${{β}}$$的距离相等
C.$${{l}{，}{m}}$$是$${{α}}$$内两条直线，且$${{l}{/}{/}{β}{，}{m}{/}{/}{β}}$$
D.$${{l}{，}{m}}$$是两条异面直线，且$${{l}{/}{/}{α}{，}{m}{/}{/}{α}{，}{l}{/}{/}{β}{，}{m}{/}{/}{β}}$$
1. 在三棱柱$$ABC-A_1B_1C_1$$中，侧棱$$AA_1 \perp$$底面$$ABC$$，底面是边长为$$2$$的等边三角形，点$$E$$是$$B_1C_1$$的中点，求$$E$$到平面$$ABB_1A_1$$的距离。
解析：
1. 建立坐标系：设$$A$$在原点，$$AB$$沿$$x$$轴，$$AA_1$$沿$$z$$轴。则$$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(1,\sqrt{3},0)$$，$$A_1(0,0,h)$$，$$B_1(2,0,h)$$，$$C_1(1,\sqrt{3},h)$$。
2. 点$$E$$为$$B_1C_1$$的中点，坐标为$$E\left(\frac{2+1}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}, \frac{h+h}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, h\right)$$。
3. 平面$$ABB_1A_1$$的法向量为$$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AA_1} = (2,0,0) \times (0,0,h) = (0, -2h, 0)$$，简化得$$(0,1,0)$$。
4. 点$$E$$到平面的距离公式为$$d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{AE}|}{|\vec{n}|}$$，其中$$\vec{AE} = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, h\right)$$。
5. 计算得$$d = \left|\frac{\sqrt{3}}{2}\right| = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
答案为：A.$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$。
5. 已知棱长为$$2$$的正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$，球$$O$$与该正方体的各个面相切，求平面$$ACB_1$$截此球所得的截面的面积。
解析：
1. 球$$O$$的半径为$$1$$（与棱长为$$2$$的正方体相切）。
2. 平面$$ACB_1$$的方程为$$x + y - z = 2$$。
3. 球心$$O(1,1,1)$$到平面的距离为$$d = \frac{|1+1-1-2|}{\sqrt{1+1+1}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$。
4. 截面圆的半径$$r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$。
5. 截面面积为$$\pi r^2 = \pi \times \frac{6}{9} = \frac{2\pi}{3}$$。
答案为：D.$$\frac{2\pi}{3}$$。
6. 已知等腰直角三角形$$ABC$$的三个顶点都在半径为$$2$$的球面上，球心$$O$$到平面$$ABC$$的距离为$$1$$，过直角边$$AB$$作球$$O$$的截面，求截面面积的最小值。
解析：
1. 设$$AB$$为斜边，则$$AB = 2\sqrt{2}$$（因为球心到平面距离为$$1$$，球的半径为$$2$$，可得圆的半径$$\sqrt{4-1} = \sqrt{3}$$，等腰直角三角形的斜边$$AB = 2\sqrt{2}$$）。
2. 过$$AB$$的截面圆的半径$$r$$满足$$r^2 = R^2 - d^2$$，其中$$R = 2$$，$$d$$为球心到截面的距离。
3. 最小截面面积对应最大$$d$$，即$$d_{\text{max}} = \sqrt{4 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2}$$（因为$$AB$$的中点到球心的距离为$$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$）。
4. 最小半径$$r = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$$，面积为$$\pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$$。
答案为：D.$$2\pi$$。
8. 正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$的棱长为$$1$$，$$E$$为$$A_1B_1$$的中点，判断四个命题的真假。
解析：
1. 命题①：点$$E$$到平面$$ABC_1D_1$$的距离为$$\frac{1}{2}$$。计算得距离为$$\frac{1}{2}$$，正确。
2. 命题②：直线$$BC$$与平面$$ABC_1D_1$$所成的角为$$45^\circ$$。计算得角度为$$45^\circ$$，正确。
3. 命题③：空间四边形$$ABCD_1$$在六个面内形成射影，面积最小值为$$\frac{1}{2}$$。计算得最小射影面积为$$\frac{1}{2}$$，正确。
4. 命题④：$$AE$$与$$DC$$所成角的余弦值为$$\frac{\sqrt{5}}{5}$$。计算得余弦值为$$\frac{\sqrt{5}}{5}$$，正确。
四个命题均为真命题。
答案为：D.$$4$$。
9. 已知$$P$$为椭圆$$C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$$上任意一点，求$$P$$到直线$$l: 2x - y = 12$$距离的最小值。
解析：
1. 参数化椭圆：$$x = 2\cos\theta$$，$$y = 3\sin\theta$$。
2. 距离公式：$$d = \frac{|4\cos\theta - 3\sin\theta - 12|}{\sqrt{5}}$$。
3. 最小化$$|4\cos\theta - 3\sin\theta - 12|$$，即求$$4\cos\theta - 3\sin\theta$$的最大值。
4. 最大值为$$\sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5$$，故最小距离为$$\frac{|5 - 12|}{\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{5}$$。
答案为：B.$$\frac{7\sqrt{5}}{5}$$。
10. 判断平面$$\alpha$$与平面$$\beta$$平行的条件。
解析：
A. $$\alpha$$、$$\beta$$都垂直于$$\gamma$$，不能推出平行。
B. $$\alpha$$内存在不共线的三点到$$\beta$$的距离相等，可能三点在$$\beta$$的同侧或异侧，不能推出平行。
C. $$l$$、$$m$$是$$\alpha$$内两条直线且平行于$$\beta$$，若$$l$$、$$m$$平行，不能推出$$\alpha \parallel \beta$$。
D. $$l$$、$$m$$是异面直线且都平行于$$\alpha$$和$$\beta$$，可以推出$$\alpha \parallel \beta$$。
答案为：D.