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正确率60.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{B}{{C}_{1}}}$$与$${{A}{C}}$$的夹角为（）
C
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
7、['异面直线垂直'， '异面直线所成的角'， '直线与平面垂直的性质定理']正确率40.0%在直角梯形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A D / / B C， \， \， \， A B \perp A D， \， \， \， E， \， \， \， F$$分别是$$A B， ~ A D$$的中点，$${{P}{F}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}{D}}$$，且$$A B=B C=P F={\frac{1} {2}} A D=2$$，则异面直线$$P E， ~ C D$$所成的角为（）
B
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
8、['异面直线所成的角'， '二面角'， '直线与平面所成的角']正确率40.0%已知正四棱锥$$S-A B C D， \; E$$是线段$${{A}{B}}$$上的点且$$A E={\frac{1} {3}} A B$$，设$${{S}{E}}$$与$${{B}{C}}$$所成的角为$${{θ}_{1}{，}}$$二面角$$S-A B-C$$的平面角为$$\theta_{2}， ~ S E$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成的角为$${{θ}_{3}{，}}$$则（）
B
A.$$\theta_{1} < \theta_{2} < \theta_{3}$$
B.$$\theta_{3} < \theta_{2} < \theta_{1}$$
C.$$\theta_{1} < \theta_{3} < \theta_{2}$$
D.$$\theta_{2} < \theta_{3} < \theta_{1}$$
10、['异面直线所成的角']正确率80.0%在平面中，与正方形ABCD的每条边所成角都相等的直线与AB所成角的余弦值为$$\frac{\sqrt2} {2}$$．将此结论类比到空间中，得到的结论为：在空间中，与正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的每条棱所成角都相等的直线与AB所成角的余弦值为（ ）
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
5、在正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，求$$BC_1$$与$$AC$$的夹角。
解析：
1. 建立坐标系，设正方体边长为1，点坐标如下：
$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$C(1,1,0)$$，$$D(0,1,0)$$
$$A_1(0,0,1)$$，$$B_1(1,0,1)$$，$$C_1(1,1,1)$$，$$D_1(0,1,1)$$
2. 向量$$BC_1 = (0,1,1)$$，向量$$AC = (1,1,0)$$
3. 计算夹角余弦：
$$\cos \theta = \frac{BC_1 \cdot AC}{|BC_1| \cdot |AC|} = \frac{0 \times 1 + 1 \times 1 + 1 \times 0}{\sqrt{0+1+1} \cdot \sqrt{1+1+0}} = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$
4. 夹角$$\theta = 60^\circ$$，答案为$$C$$。
7、在直角梯形$$ABCD$$中，求异面直线$$PE$$与$$CD$$所成的角。
解析：
1. 建立坐标系，设$$AD$$沿$$x$$轴，$$AB$$沿$$y$$轴，$$PF$$沿$$z$$轴：
$$A(0,0,0)$$，$$B(0,2,0)$$，$$C(2,2,0)$$，$$D(4,0,0)$$
$$E(0,1,0)$$，$$F(2,0,0)$$，$$P(2,0,2)$$
2. 向量$$PE = (-2,1,-2)$$，向量$$CD = (2,-2,0)$$
3. 计算夹角余弦：
$$\cos \theta = \frac{PE \cdot CD}{|PE| \cdot |CD|} = \frac{-2 \times 2 + 1 \times (-2) + (-2) \times 0}{\sqrt{4+1+4} \cdot \sqrt{4+4+0}} = \frac{-6}{3 \times 2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
4. 取锐角，$$\theta = 45^\circ$$，答案为$$B$$。
8、在正四棱锥$$S-ABCD$$中，比较$$\theta_1$$、$$\theta_2$$、$$\theta_3$$的大小关系。
解析：
1. 设底面边长为3，高为$$h$$，点$$E$$满足$$AE = 1$$。
2. 计算$$\theta_1$$（$$SE$$与$$BC$$的夹角）：通过平移$$SE$$与$$BC$$相交，利用向量法求得$$\theta_1 \approx 35.26^\circ$$。
3. 计算$$\theta_2$$（二面角$$S-AB-C$$）：利用二面角公式求得$$\theta_2 = \arctan\left(\frac{2h}{3}\right)$$，通常大于$$\theta_1$$。
4. 计算$$\theta_3$$（$$SE$$与平面$$ABCD$$的夹角）：$$\theta_3 = \arctan\left(\frac{h}{\sqrt{5}}\right)$$，介于$$\theta_1$$和$$\theta_2$$之间。
5. 综上，$$\theta_1 < \theta_3 < \theta_2$$，答案为$$C$$。
10、将平面结论类比到空间，求与正方体每条棱所成角相等的直线与$$AB$$所成角的余弦值。
解析：
1. 空间中满足条件的直线为正方体的空间对角线（如$$A_1C$$或$$AC_1$$）。
2. 设正方体边长为1，向量$$AB = (1,0,0)$$，向量$$AC_1 = (1,1,1)$$。
3. 计算夹角余弦：
$$\cos \theta = \frac{AB \cdot AC_1}{|AB| \cdot |AC_1|} = \frac{1 \times 1 + 0 \times 1 + 0 \times 1}{1 \times \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
4. 答案为$$B$$。