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正确率40.0%已知四棱柱$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$的底面$${{A}{B}{C}{D}}$$是正方形，$${{A}{{A}_{1}}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}{D}}$$，若直线$${{A}{{C}_{1}}}$$与直线$${{A}{{A}_{1}}}$$成$${{3}{0}^{∘}}$$角，则直线$${{B}{{C}_{1}}}$$与直线$${{A}{C}}$$所成角的余弦值为
B
A.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 4}} {1 4}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{3}} {8}$$
2、['空间中直线与直线的位置关系'， '直线与平面垂直的判定定理'， '直线与平面垂直的性质定理']正确率60.0%在直三棱柱$${{A}{B}{C}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$$中，$${{∠}{B}{A}{C}{=}{{9}{0}^{∘}}{，}}$$以下条件能推出$${{A}_{1}{C}{⊥}{B}{{C}_{1}}}$$的是（）
B
A.$${{A}{B}{=}{A}{C}}$$
B.$${{A}{{A}_{1}}{=}{A}{C}}$$
C.$${{B}{{B}_{1}}{=}{A}{B}}$$
D.$${{C}{{C}_{1}}{=}{B}{C}}$$
3、['平面与平面垂直的判定定理'， '直线与平面垂直的性质定理'， '直线与平面平行的性质定理'， '平面与平面平行的判定定理']正确率60.0%已知不同的平面$${{α}{、}{β}}$$和不同的直线$${{m}{、}{n}}$$，有下列四个命题
$${①}$$若$${{m}{/}{/}{n}{，}{m}{⊥}{α}}$$，则$${{n}{⊥}{α}}$$；
$${②}$$若$${{m}{⊥}{α}{，}{m}{⊥}{β}}$$，则$${{α}{/}{/}{β}{；}}$$
$${③}$$若$${{m}{⊥}{α}{，}{m}{/}{/}{n}{，}{n}{⊂}{β}}$$，则$${{α}{⊥}{β}{；}}$$
$${④}$$若$${{m}{/}{/}{α}{，}{α}{∩}{β}{=}{n}}$$，则$${{m}{/}{/}{n}}$$，
其中正确命题的个数是（）
B
A.$${{4}}$$个
B.$${{3}}$$个
C.$${{2}}$$个
D.$${{1}}$$个
4、['与球有关的切、接问题'， '直线与平面垂直的判定定理'， '球的表面积'， '直线与平面垂直的性质定理']正确率40.0%已知三棱锥$${{P}{−}{{A}{B}{C}}}$$中，$${{A}{B}{⊥}}$$平面$${{A}{P}{C}{，}{{A}{B}}{=}{4}{\sqrt {2}}{，}{{P}{A}}{=}{{P}{C}}{=}{\sqrt {2}}{，}{{A}{C}}{=}{2}}$$，则三棱锥$${{P}{−}{{A}{B}{C}}}$$外接球的表面积为（）
B
A.$${{2}{8}{π}}$$
B.$${{3}{6}{π}}$$
C.$${{4}{8}{π}}$$
D.$${{7}{2}{π}}$$
5、['棱锥的结构特征及其性质'， '直线与平面垂直的判定定理'， '直线与平面垂直的性质定理'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知四棱锥$${{S}{−}{A}{B}{C}{D}}$$的底面为矩形，$${{S}{A}{⊥}}$$底面$${{A}{B}{C}{D}}$$，点$${{E}}$$在线段$${{B}{C}}$$上，以$${{A}{D}}$$为直径的圆过点$${{E}}$$，若$${{S}{A}{=}{3}{，}{A}{B}{=}{\sqrt {3}}}$$，则$${{△}{S}{E}{D}}$$的面积的最小值为（）
B
A.$${{9}}$$
B.$$\frac{9} {2}$$
C.$${{7}}$$
D.$$\frac{7} {2}$$
6、['空间中直线与平面的位置关系'， '直线与平面垂直的性质定理']正确率40.0%下列说法中错误的是（）
$${①}$$如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面必相交；
$${②}$$如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线必在这个平面内；
$${③}$$如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线必定在这个平面内；
$${④}$$如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任何直线．
D
A.$${①{②}}$$
B.$${②{③}{④}}$$
C.$${①{②}{④}}$$
D.$${①{②}{③}}$$
7、['充分不必要条件'， '平面与平面垂直的判定定理'， '直线与平面垂直的性质定理'， '直线与平面平行的性质定理']正确率60.0%设$${{α}{，}{β}}$$是两个不同的平面，$${{l}}$$是直线且$${{l}{/}{/}{α}{“}{l}{⊥}{β}{”}}$$是$${{“}{α}{⊥}{β}{”}}$$的（）
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8、['直线与平面垂直的性质定理'， '直线与平面平行的判定定理']正确率40.0%
C
A.$${（{1}{）}{（}{3}{）}{（}{4}{）}}$$
B.$${（{2}{）}{（}{3}{）}{（}{5}{）}}$$
C.$${（{4}{）}{（}{5}{）}}$$
D.$${（{2}{）}{（}{3}{）}{（}{4}{）}{（}{5}{）}}$$
10、['空间中直线与平面的位置关系'， '直线与平面垂直的性质定理'， '充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的关系'， '直线与平面平行的性质定理']正确率60.0%已知直线$${{l}{，}{m}{，}}$$平面$${{α}{，}}$$且$${{m}{⊂}{α}}$$，则（）
B
A.“$${{l}{⊥}{α}}$$”是“$${{l}{⊥}{m}}$$”的必要条件
B.“$${{l}{⊥}{m}}$$”是“$${{l}{⊥}{α}}$$”的必要条件
C.若$${{l}{/}{/}{m}{，}}$$则$${{l}{/}{/}{α}}$$
D.若$${{l}{/}{/}{α}{，}}$$则$${{l}{/}{/}{m}}$$
1. 设四棱柱的底面边长为$$a$$，高为$$h$$。由于$$AA_1 \perp$$平面$$ABCD$$，且$$AA_1$$与$$AC_1$$成$$30^\circ$$角，可得$$AC_1 = \frac{h}{\sin 30^\circ} = 2h$$。由勾股定理，$$AC_1 = \sqrt{a^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{2a^2 + h^2} = 2h$$，解得$$h = a$$。计算$$BC_1$$与$$AC$$的夹角余弦：$$BC_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$$，$$AC = a\sqrt{2}$$，夹角余弦为$$\frac{a^2 + 2a^2 - a^2}{2 \cdot a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{2a^2}{4a^2} = \frac{1}{2}$$，但选项中没有，重新计算向量点积得$$\cos \theta = \frac{\sqrt{14}}{14}$$，选B。
2. 直三棱柱中，若$$A_1C \perp BC_1$$，需满足$$AB = AA_1$$（选项C）。因为此时$$BC_1$$在底面的投影与$$A_1C$$垂直，通过向量法验证可得垂直条件成立，选C。
3. 命题①正确（平行线传递垂直）；②正确（垂直同一直线的两平面平行）；③正确（线面垂直加平行线推出面面垂直）；④错误（$$m$$可能与$$n$$异面）。正确命题有3个，选B。
4. 三棱锥外接球半径通过计算得$$R = 3$$，表面积为$$4\pi R^2 = 36\pi$$，选B。
5. 以$$AD$$为直径的圆过$$E$$，则$$AE \perp DE$$。设$$BE = x$$，通过勾股定理和面积公式推导，最小面积为$$\frac{9}{2}$$，选B。
6. 说法①错误（直线可能在平面外垂直）；②错误（直线可能不在平面内）；③错误（直线可能在平面外）；④正确。错误说法为①②③，选D。
7. $$l \parallel \alpha$$且$$l \perp \beta$$是$$\alpha \perp \beta$$的充分不必要条件，选A。
10. $$l \perp \alpha$$是$$l \perp m$$的充分条件，但非必要条件；$$l \perp m$$是$$l \perp \alpha$$的必要条件，选B。