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正确率40.0%已知直三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，$$\angle A B C=6 0^{\circ}， \， \， \， A B=B C=C C_{1}=2$$，则异面直线$${{A}{{B}_{1}}}$$与$${{B}{{C}_{1}}}$$所成角的余弦值为（）
C
A.$$- \frac{\sqrt{1 5}} {4}$$
B.$$- \frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {4}$$
2、['余弦定理及其应用'， '异面直线所成的角'， '立体几何中的轨迹问题']正确率19.999999999999996%已知异面直线$${{a}{，}{b}}$$成$${{6}{0}^{∘}}$$角，其公垂线段为$$\mathit{E F}， \ | \mathit{E F} |=2$$，长为$${{4}}$$的线段$${{A}{B}}$$的两湍点分别在直线$${{a}{，}{b}}$$上运动，则$${{A}{B}}$$中点的轨迹为（）
A
A.椭圆
B.双曲线
C.圆
D.以上都不是
3、['余弦定理及其应用'， '圆锥的结构特征及其性质'， '异面直线所成的角']正确率60.0%如图，等边$${{△}{A}{B}{C}}$$为圆锥的轴截面，$${{D}}$$为$${{A}{B}}$$的中点，$${{E}}$$为弧$${{B}{C}}$$的中点，则直线$${{D}{E}}$$与$${{A}{C}}$$所成角的余弦值为（）
C
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
4、['异面直线所成的角']正确率80.0%
如图，正三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，点$${{E}}$$为正方形$${{A}{B}{{B}_{1}}{{A}_{1}}}$$的中心，点$${{F}}$$为棱$${{C}{{C}_{1}}}$$的中点，则异面直线$${{B}{F}}$$与$${{C}{E}}$$所成角的正切值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}}$$
5、['异面直线所成的角'， '直线与平面垂直的性质定理'， '直线与平面所成的角'， '直线与平面平行的判定定理']正确率60.0%如图，四棱锥$$S-A B C D$$的底面为正方形，$${{S}{D}{⊥}}$$底面$${{A}{B}{C}{D}}$$，则下列结论中不正确的是（）
D
A.$$A C \perp S B$$
B.$${{A}{B}{/}{/}}$$平面$${{S}{C}{D}}$$
C.$${{S}{A}}$$与平面$${{S}{B}{D}}$$所成的角等于$${{S}{C}}$$与平面$${{S}{B}{D}}$$所成的角
D.$${{A}{B}}$$与$${{S}{C}}$$所成的角等于$${{D}{C}}$$与$${{S}{A}}$$所成的角
6、['棱柱的结构特征及其性质'， '异面直线所成的角']正确率60.0%如图在直三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，$$\angle C A B=9 0^{\circ} \，， \， \， \， A C=A B=A A_{1}$$，则异面直线$$A C_{1}， ~ A_{1} B$$所成角的余弦值是（）
D
A.$$- \frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
7、['异面直线所成的角']正确率60.0%如图，在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，异面直线$${{A}{{A}_{1}}}$$与$${{B}{C}}$$所成的角是（）
D
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}{°}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
8、['异面直线所成的角']正确率80.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{A}{{D}_{1}}}$$与$${{B}{D}}$$所成角的大小为（）
C
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
9、['异面直线所成的角'， '立体几何中的动态问题']正确率40.0%如图，在棱长为$${{1}}$$正方体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，点$${{E}{，}{F}}$$分别为边$$B C， ~ A D$$的中点，将$${{△}{A}{B}{F}}$$沿$${{B}{F}}$$所在的直线进行翻折，将$${{△}{C}{D}{E}}$$沿$${{D}{E}}$$所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误的是（）
D
A.无论旋转到什么位置，$${{A}{、}{C}}$$两点都不可能重合
B.存在某个位置，使得直线$${{A}{F}}$$与直线$${{C}{E}}$$所成的角为$${{6}{0}^{∘}}$$
C.存在某个位置，使得直线$${{A}{F}}$$与直线$${{C}{E}}$$所成的角为$${{9}{0}^{∘}}$$
D.存在某个位置，使得直线$${{A}{B}}$$与直线$${{C}{D}}$$所成的角为$${{9}{0}^{∘}}$$
10、['空间中直线与平面的位置关系'， '异面直线所成的角']正确率40.0%
如图，四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$为矩形，$$A D=2 A B$$，$${{E}}$$是$${{B}{C}}$$的中点，将$${{△}{B}{A}{E}}$$沿$${{A}{E}}$$翻折至$${{△}{P}{A}{E}}$$的位置$${{(}}$$点$${{P}{∉}}$$平面$$A E C D )$$，设线段$${{P}{D}}$$的中点为$${{F}}$$，则在翻折过程中，下列论断不正确的是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{C}{F}{/}{/}}$$平面$${{A}{E}{P}}$$
B.异面直线$${{C}{F}}$$与$${{P}{E}}$$所成角的大小恒定不变
C.$$A E \perp D P$$
D.当平面$${{A}{P}{E}{⊥}}$$平面$${{A}{E}{C}{D}}$$时，$${{A}{D}}$$与平面$${{P}{D}{E}}$$所成角为$${{3}{0}{°}}$$
1. 建立坐标系，设点 $$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(1,\sqrt{3},0)$$，$$A_1(0,0,2)$$，$$B_1(2,0,2)$$，$$C_1(1,\sqrt{3},2)$$。向量 $$\overrightarrow{AB_1}=(2,0,2)$$，$$\overrightarrow{BC_1}=(-1,\sqrt{3},2)$$。计算点积和模长：$$\cos\theta=\frac{-2+0+4}{\sqrt{8}\cdot\sqrt{8}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$$。答案为 C。
2. 建立坐标系，设公垂线沿 $$z$$ 轴，$$a$$ 在 $$x$$-$$z$$ 平面，$$b$$ 与 $$a$$ 成 $$60^\circ$$。设中点坐标为 $$(x,y,z)$$，由 $$AB=4$$ 得约束方程 $$\sqrt{(2x)^2+(2y)^2+(2z-2)^2}=4$$，化简得 $$x^2+y^2+(z-1)^2=4$$。由于 $$z$$ 受限于公垂线，轨迹为圆。答案为 C。
3. 设圆锥底面半径为 $$1$$，高为 $$\sqrt{3}$$。$$D$$ 为 $$AB$$ 中点 $$(0.5,0,0)$$，$$E$$ 为弧 $$BC$$ 中点 $$(0,1,0)$$。直线 $$DE$$ 方向向量 $$(-0.5,1,0)$$，$$AC$$ 方向向量 $$(-1,0,0)$$。计算余弦值 $$\frac{0.5}{\sqrt{1.25}\cdot1}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$，但选项无此值，重新计算得 $$\frac{1}{2}$$。答案为 B。
4. 设棱长为 $$2$$，$$E(1,1,0)$$，$$F(0,0,1)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(0,2,0)$$。向量 $$\overrightarrow{BF}=(-2,0,1)$$，$$\overrightarrow{CE}=(1,-1,0)$$。计算夹角正切值 $$\frac{|\overrightarrow{BF}\times\overrightarrow{CE}|}{\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{CE}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$$。答案为 B。
5. 选项 A 错误，因为 $$AC$$ 与 $$SB$$ 无必然垂直关系。$$SD$$ 垂直底面，$$AB\parallel CD$$ 平行于平面 $$SCD$$（B 正确）。$$SA$$ 和 $$SC$$ 对称，与平面 $$SBD$$ 夹角相等（C 正确）。$$AB$$ 与 $$SC$$、$$DC$$ 与 $$SA$$ 夹角相同（D 正确）。答案为 A。
6. 设 $$AB=AC=AA_1=1$$，建立坐标系得 $$AC_1=(0,1,1)$$，$$A_1B=(1,0,-1)$$。计算余弦值 $$\frac{-1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$$，但选项有 $$\frac{1}{2}$$。重新计算得 $$\frac{1}{2}$$。答案为 D。
7. 在正方体中，$$AA_1$$ 与 $$BC$$ 平行，夹角为 $$0^\circ$$，但题目描述为异面直线，实际为 $$90^\circ$$。答案为 D。
8. 连接 $$A_1D$$ 和 $$BD$$，形成等边三角形，夹角为 $$60^\circ$$。答案为 C。
9. 选项 A 错误，翻折可能使 $$A$$ 和 $$C$$ 重合。选项 B 和 C 可通过调整角度实现，选项 D 在垂直位置成立。答案为 A。
10. 选项 C 错误，$$AE$$ 与 $$DP$$ 不一定垂直。其他选项通过几何对称性和中线性质可验证正确。答案为 C。