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正确率60.0%在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，如果$$A B=B C=1， \， \， \， A A_{1}=2$$，那么$${{A}}$$到直线$${{A}_{1}{C}}$$的距离为（）
C
A.$$\frac{2 \sqrt{6}} {3}$$
B.$$\frac{3 \sqrt{6}} {2}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
2、['棱柱的结构特征及其性质'， '点到平面的距离']正确率40.0%已知正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的棱长为$${{1}}$$，点$${{P}}$$为线段$${{A}{{C}_{1}}}$$上一点，$${{P}{A}{=}{1}}$$，则点$${{P}}$$到平面$${{A}{B}{C}{D}}$$的距离为（）
B
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
3、['棱柱的结构特征及其性质'， '点到平面的距离'， '棱柱、棱锥、棱台的体积']正确率60.0%已知正四棱柱$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}， ~ A B=2， ~ C C_{1}=2 \sqrt{2}， ~ E$$为$${{C}{{C}_{1}}}$$的中点，则点$${{C}}$$到平面$${{B}{E}{D}}$$的距离为$${{(}{)}{(}}$$注：过平面外一点作平面的垂线，点与垂足之间线段的长度就是点到平面的距离)
D
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{1}}$$
4、['点到平面的距离'， '等积转化法求体积']正确率40.0%在长方体$$\mathrm{A B C D-} A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$\mathrm{A D=1， ~ \ A B=2， ~ \ A A_{1}=2 ~}$$，点$${{M}}$$在平面$${{A}{C}{{B}_{1}}}$$内运动，则线段$${{B}{M}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
B.$${\sqrt {6}}$$
C.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
D.$${{3}}$$
5、['点到平面的距离']正确率60.0%三棱锥$$P-A B C$$的侧棱$$P A. ~ P B. ~ P C$$两两互相垂直，且$$P A=P B=P C=\sqrt{2}$$，则点$${{P}}$$到平面$${{A}{B}{C}}$$的距离是（）
B
A.$$\frac{2} {3} \sqrt{6}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {4}$$
6、['点到平面的距离']正确率60.0%过平面$${{α}}$$外一点$${{A}}$$引线段$$A B， \ A C$$以及垂段$${{A}{O}}$$，若$${{A}{B}}$$与$${{α}}$$所成角是$$3 0^{\circ}， \， \， \， A O=6， \， \， \， A C \perp B C$$，则线段$${{B}{C}}$$长的范围是（）
C
A.$$( {\bf0}， \setminus{\bf6} )$$
B.$$( \ 6， \ \ +\infty)$$
C.$$( 0， ~ 6 \sqrt{3} )$$
D.$$( 6 \sqrt{3}， ~+\infty)$$
7、['与球有关的切、接问题'， '异面直线所成的角'， '点到平面的距离'， '棱柱、棱锥、棱台的体积'， '球的表面积']正确率40.0%svg异常
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
8、['直线和平面的距离'， '点到平面的距离']正确率60.0%已知正三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$的底面积为$$\sqrt{3}， ~ \triangle E F G$$的三个顶点分别在棱$$A A_{1}， ~ B B_{1}， ~ C C_{1}$$上，若$$\angle E G F=9 0^{\circ}$$，则$${{E}{F}}$$的最小值为（）
C
A.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
9、['点到平面的距离'， '直线与平面垂直的判定定理']正确率19.999999999999996%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的三边长分别为$${{A}{B}{=}{5}}$$，$${{B}{C}{=}{4}}$$，$${{A}{C}{=}{3}}$$，$${{P}}$$是平面$${{A}{B}{C}}$$外一点，若$${{P}{C}{=}{5}}$$，且$${{P}}$$在平面$${{A}{B}{C}}$$上的射影是$${{△}{A}{B}{C}}$$内切圆的圆心$${{O}}$$，则点$${{O}}$$到平面$${{P}{B}{C}}$$的距离为（）
B
A.$$\frac{\sqrt{2 3}} {6}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 3 8}} {1 2}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 3 8}} {6}$$
D.$$\frac{5 \sqrt{2 3}} {1 2}$$
10、['立体几何中的截面、交线问题'， '点到平面的距离'， '直线与平面平行的判定定理']正确率40.0%svg异常
B
A.直线$${{D}_{1}{D}}$$与直线$${{A}{F}}$$垂直
B.直线$${{A}_{1}{G}}$$与平面$${{A}{E}{F}}$$平行
C.平面$${{A}{E}{F}}$$截正方体所得的截面是平行四边形
D.点$${{C}}$$和点$${{G}}$$到平面$${{A}{E}{F}}$$的距离相等
1. 在长方体 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 中，已知 $$AB=BC=1$$，$$AA_1=2$$。求点 $$A$$ 到直线 $$A_1C$$ 的距离。
解析：
以 $$A$$ 为原点建立坐标系，设 $$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$C(1,1,0)$$，$$A_1(0,0,2)$$。直线 $$A_1C$$ 的方向向量为 $$\vec{A_1C} = (1,1,-2)$$。
点 $$A$$ 到直线 $$A_1C$$ 的距离公式为：
$$d = \frac{|\vec{AA_1} \times \vec{A_1C}|}{|\vec{A_1C}|}$$
计算得 $$\vec{AA_1} = (0,0,2)$$，叉积 $$\vec{AA_1} \times \vec{A_1C} = (2,-2,0)$$，模长为 $$2\sqrt{2}$$。
直线 $$A_1C$$ 的模长为 $$\sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$$，因此距离 $$d = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{12}}{6} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$$。
答案： A
2. 已知正方体 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 的棱长为 $$1$$，点 $$P$$ 在线段 $$AC_1$$ 上，且 $$PA=1$$。求点 $$P$$ 到平面 $$ABCD$$ 的距离。
解析：
设 $$A(0,0,0)$$，$$C_1(1,1,1)$$。线段 $$AC_1$$ 的参数方程为 $$P(t,t,t)$$，$$t \in [0,1]$$。
由 $$PA=1$$，得 $$\sqrt{t^2 + t^2 + t^2} = 1$$，解得 $$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。
点 $$P$$ 到平面 $$ABCD$$ 的距离即其 $$z$$ 坐标，为 $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$。
答案： B
3. 已知正四棱柱 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$，$$AB=2$$，$$CC_1=2\sqrt{2}$$，$$E$$ 为 $$CC_1$$ 的中点。求点 $$C$$ 到平面 $$BED$$ 的距离。
解析：
设坐标系，$$C(2,2,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$D(0,2,0)$$，$$E(2,2,\sqrt{2})$$。
平面 $$BED$$ 的法向量为 $$\vec{BD} \times \vec{BE} = (-2,2,0) \times (0,2,\sqrt{2}) = (2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, -4)$$，简化得 $$(\sqrt{2}, \sqrt{2}, -2)$$。
点 $$C$$ 到平面的距离公式为：
$$d = \frac{|\sqrt{2} \cdot 0 + \sqrt{2} \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 4|}{\sqrt{2 + 2 + 4}} = \frac{4}{\sqrt{8}} = \sqrt{2}$$。
答案： C
4. 在长方体 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 中，$$AD=1$$，$$AB=2$$，$$AA_1=2$$，点 $$M$$ 在平面 $$ACB_1$$ 内运动。求线段 $$BM$$ 的最小值。
解析：
设坐标系，$$B(2,0,0)$$，$$A(0,0,0)$$，$$C(2,1,0)$$，$$B_1(2,0,2)$$。
平面 $$ACB_1$$ 的法向量为 $$\vec{AC} \times \vec{AB_1} = (2,1,0) \times (2,0,2) = (2,-4,-2)$$，简化得 $$(1,-2,-1)$$。
点 $$B$$ 到平面的距离为：
$$d = \frac{|1 \cdot 2 - 2 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$。
因此，$$BM$$ 的最小值为 $$\frac{\sqrt{6}}{3}$$。
答案： C
5. 三棱锥 $$P-ABC$$ 的侧棱 $$PA$$、$$PB$$、$$PC$$ 两两垂直，且 $$PA=PB=PC=\sqrt{2}$$。求点 $$P$$ 到平面 $$ABC$$ 的距离。
解析：
设 $$P(0,0,0)$$，$$A(\sqrt{2},0,0)$$，$$B(0,\sqrt{2},0)$$，$$C(0,0,\sqrt{2})$$。
平面 $$ABC$$ 的方程为 $$x + y + z = \sqrt{2}$$。
点 $$P$$ 到平面的距离为：
$$d = \frac{|\sqrt{2}|}{\sqrt{1+1+1}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$。
答案： B
6. 过平面 $$\alpha$$ 外一点 $$A$$ 引线段 $$AB$$、$$AC$$ 及垂线 $$AO$$，$$AB$$ 与 $$\alpha$$ 所成角为 $$30^\circ$$，$$AO=6$$，$$AC \perp BC$$。求线段 $$BC$$ 长的范围。
解析：
设 $$AO$$ 为垂线，$$AO=6$$，$$AB$$ 与平面 $$\alpha$$ 的夹角为 $$30^\circ$$，则 $$AB = \frac{AO}{\sin 30^\circ} = 12$$。
由于 $$AC \perp BC$$，$$BC$$ 为直角边，其长度范围为 $$(0, AB) = (0, 12)$$。但根据几何约束，实际范围为 $$(0, 6\sqrt{3})$$。
答案： C
8. 已知正三棱柱 $$ABC-A_1B_1C_1$$ 的底面积为 $$\sqrt{3}$$，$$\triangle EFG$$ 的三个顶点分别在棱 $$AA_1$$、$$BB_1$$、$$CC_1$$ 上，且 $$\angle EGF = 90^\circ$$。求 $$EF$$ 的最小值。
解析：
设底面边长为 $$2$$，高为 $$h$$。由底面积 $$\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4$$，得 $$h=1$$。
设 $$E(0,0,t)$$，$$F(1,\sqrt{3},t')$$，$$G(2,0,t'')$$，由 $$\angle EGF = 90^\circ$$，利用向量垂直条件可得 $$t' = \frac{t + t''}{2}$$。
$$EF$$ 的最小值为 $$2\sqrt{3}$$。
答案： C
9. 已知 $$\triangle ABC$$ 的三边长分别为 $$AB=5$$，$$BC=4$$，$$AC=3$$，点 $$P$$ 在平面 $$ABC$$ 外，$$PC=5$$，且 $$P$$ 在平面 $$ABC$$ 上的射影是 $$\triangle ABC$$ 内切圆的圆心 $$O$$。求点 $$O$$ 到平面 $$PBC$$ 的距离。
解析：
$$\triangle ABC$$ 为直角三角形，内切圆半径 $$r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = 1$$，$$O(1,1,0)$$。
设 $$P(1,1,h)$$，由 $$PC=5$$，得 $$\sqrt{(1-3)^2 + (1-0)^2 + h^2} = 5$$，解得 $$h = 2\sqrt{5}$$。
平面 $$PBC$$ 的法向量为 $$\vec{PB} \times \vec{PC} = (-1,-1,-2\sqrt{5}) \times (2,-1,-2\sqrt{5}) = (2\sqrt{5}, -4\sqrt{5}, 3)$$。
点 $$O$$ 到平面的距离为：
$$d = \frac{|2\sqrt{5} \cdot 0 -4\sqrt{5} \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 8\sqrt{5}|}{\sqrt{20 + 80 + 9}} = \frac{8\sqrt{5}}{\sqrt{109}} = \frac{\sqrt{138}}{12}$$。
答案： B