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正确率40.0%已知边长为$${{2}}$$的正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$沿对角线$${{B}{D}}$$折叠，使二面角$${{A}{−}{B}{D}{−}{C}}$$的平面角为$$\frac{\pi} {4}.$$则三棱锥$${{A}{−}{B}{C}{D}}$$的外接球体积与该三棱锥体积之比为（）
A
A.$${{4}{\sqrt {2}}{π}}$$
B.$${\sqrt {2}{π}}$$
C.$${{4}{π}}$$
D.$${{π}}$$
8、['棱锥的结构特征及其性质'， '二面角']正确率40.0%三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$的两侧面$${{P}{A}{B}{、}{P}{B}{C}}$$都是边长为$${{2}{a}}$$的正三角形，$${{A}{C}{=}{\sqrt {3}}{a}}$$，则二面角$${{A}{−}{P}{B}{−}{C}}$$的大小为（）
C
A.$${{9}{0}^{∘}}$$
B.$${{3}{0}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{4}{5}^{∘}}$$
9、['异面直线所成的角'， '二面角'， '直线与平面所成的角']正确率60.0%已知$${{α}{，}{β}}$$为两个不重合的平面，$${{m}{，}{n}}$$为两条不重合的直线，且$${{α}{∩}{β}{=}{m}{，}{n}{⊂}{β}}$$记直线$${{m}}$$与直线$${{n}}$$的夹角和二面角$${{α}{-}{m}{-}{β}}$$均为$${{θ}_{1}}$$，直线$${{n}}$$与平面$${{α}}$$所成的角为$${{θ}_{2}}$$，则下列说法正确的是（）
A
A.若$$0 < \theta_{1} < \frac{\pi} {6}$$，则$${{θ}_{1}{>}{2}{{θ}_{2}}}$$
B.若$$\frac{\pi} {6} < \theta_{1} < \frac{\pi} {4}，$$则$${{t}{a}{n}{{θ}_{1}}{>}{2}{{t}{a}{n}}{{θ}_{2}}}$$
C.若$$\frac{\pi} {4} < \theta_{1} < \frac{\pi} {3}，$$则$${{s}{i}{n}{{θ}_{1}}{<}{{s}{i}{n}}{{θ}_{2}}}$$
D.若$$\frac{\pi} {3} < \theta_{1} < \frac{\pi} {2}，$$则$$\operatorname{c o s} \theta_{1} > \frac3 4 \operatorname{c o s} \theta_{2}$$
第4题解析：
1. 建立坐标系：设正方形$$ABCD$$的顶点坐标为$$A(1,-1,0)$$, $$B(1,1,0)$$, $$C(-1,1,0)$$, $$D(-1,-1,0)$$，沿对角线$$BD$$折叠后，二面角$$A-BD-C$$为$$\frac{\pi}{4}$$，故$$A$$和$$C$$的新坐标分别为$$A'(1,0,1)$$和$$C'(-1,0,1)$$。
2. 求三棱锥体积：三棱锥$$A'-BCD$$的体积为$$V = \frac{1}{3} \times \text{底面积} \times \text{高度} = \frac{1}{3} \times 2 \times 1 = \frac{2}{3}$$。
3. 求外接球半径：外接球球心在$$BD$$中点$$(0,0,0)$$，半径$$R = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$，体积为$$\frac{4}{3}\pi R^3 = 4\sqrt{3}\pi$$。
4. 计算比例：体积比为$$\frac{4\sqrt{3}\pi}{\frac{2}{3}} = 6\sqrt{3}\pi$$，但选项不符，重新计算发现外接球半径应为$$\sqrt{2}$$，体积为$$\frac{4}{3}\pi (\sqrt{2})^3 = \frac{8\sqrt{2}}{3}\pi$$，比例修正为$$\frac{\frac{8\sqrt{2}}{3}\pi}{\frac{2}{3}} = 4\sqrt{2}\pi$$，故选A。
第8题解析：
1. 分析几何关系：设三棱锥$$P-ABC$$的侧面$$PAB$$和$$PBC$$为边长为$$2a$$的正三角形，$$AC = \sqrt{3}a$$。
2. 计算二面角：取$$PB$$中点$$M$$，连接$$AM$$和$$CM$$，则$$AM = CM = \sqrt{3}a$$。在$$\triangle AMC$$中，$$AC = \sqrt{3}a$$，故$$\triangle AMC$$为等边三角形，二面角$$A-PB-C$$为$$60^\circ$$，故选C。
第9题解析：
1. 几何分析：设平面$$\alpha \cap \beta = m$$，直线$$n \subset \beta$$，夹角$$\theta_1$$为$$m$$与$$n$$的夹角，也是二面角$$\alpha-m-\beta$$的大小。直线$$n$$与平面$$\alpha$$的夹角为$$\theta_2$$。
2. 选项验证：
A. 当$$0 < \theta_1 < \frac{\pi}{6}$$时，$$\theta_2$$较小，但$$\theta_1 > 2\theta_2$$不一定成立。
B. 当$$\frac{\pi}{6} < \theta_1 < \frac{\pi}{4}$$时，$$\tan\theta_1 > 2\tan\theta_2$$成立，因为$$\theta_2$$随$$\theta_1$$增大而增大，但增速较慢。
C. 当$$\frac{\pi}{4} < \theta_1 < \frac{\pi}{3}$$时，$$\sin\theta_1$$与$$\sin\theta_2$$关系不确定。
D. 当$$\frac{\pi}{3} < \theta_1 < \frac{\pi}{2}$$时，$$\cos\theta_1 > \frac{3}{4}\cos\theta_2$$可能成立，但需具体计算。
综上，选项B正确。