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正确率60.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{A}{C}}$$与$${{A}_{1}{D}}$$的夹角为（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
4、['三垂线定理及其逆定理'， '异面直线所成的角'， '二面角'， '直线与平面所成的角']正确率19.999999999999996%在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，已知二面角$$A_{1}-B D-A$$的大小为$$\frac{\pi} {6}，$$若空间一条直线$${{l}}$$与直线$${{C}{{C}_{1}}}$$所成的角为$$\frac{\pi} {4}，$$则直线$${{l}}$$与平面$${{A}_{1}{B}{D}}$$所成的角的取值范围是（）
A
A.$$[ \frac{\pi} {1 2}， \frac{5 \pi} {1 2} ]$$
B.$$[ \frac{\pi} {4}， \frac{5 \pi} {1 2} ]$$
C.$$[ \frac{\pi} {1 2}， \frac{\pi} {2} )$$
D.$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {4} ]$$
6、['异面直线所成的角']正确率60.0%正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{E}}$$为棱$${{C}{{C}_{1}}}$$的中点，则异面直线$${{A}{E}}$$与$${{A}_{1}{B}}$$所成角的余弦值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{2}} {6}$$
B.$$- \frac{\sqrt{2}} {6}$$
C.$$- \frac{\sqrt2} {1 2}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {1 2}$$
9、['异面直线所成的角'， '直线与平面垂直的性质定理'， '直线与平面所成的角']正确率40.0%在正四棱锥$$P-A B C D$$中，$${{P}{A}{=}{2}}$$，直线$${{P}{A}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成角为$$6 0^{\circ} \，， \， E$$为$${{P}{C}}$$的中点，则异面直线$${{P}{A}}$$与$${{B}{E}}$$所成角为（）
C
A.$${{9}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{4}{5}^{∘}}$$
D.$${{3}{0}^{∘}}$$
10、['异面直线所成的角']正确率40.0%在棱长为$${{1}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{C P}=\lambda\overrightarrow{C D}+\mu\overrightarrow{C C_{1}}$$，$$\lambda\in[ 0， 1 ]$$，$$\mu\in[ 0， 1 ].$$在满足条件的$${{P}}$$中随机取一点，$${{B}_{1}{P}}$$与$${{A}{D}}$$所成角小于等于$$\frac{\pi} {4}$$的概率为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\pi} {4}$$
以下是各题的详细解析：
2、在正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，$$AC$$与$$A_1D$$的夹角
解析：
1. 建立坐标系，设正方体边长为1，各点坐标为：$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$C(1,1,0)$$，$$D(0,1,0)$$，$$A_1(0,0,1)$$，$$D_1(0,1,1)$$。
2. 向量$$AC = (1,1,0)$$，向量$$A_1D = (0,1,-1)$$。
3. 计算夹角余弦：$$\cos\theta = \frac{AC \cdot A_1D}{|AC||A_1D|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$。
4. 夹角$$\theta = \frac{\pi}{3}$$，故选C。
4、在长方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，直线$$l$$与平面$$A_1BD$$所成角的取值范围
解析：
1. 设长方体底面为正方形，边长为1，高为$$h$$。由二面角$$A_1-BD-A$$为$$\frac{\pi}{6}$$，可得$$h=1$$。
2. 直线$$l$$与$$CC_1$$成$$\frac{\pi}{4}$$，说明$$l$$在空间中与竖直方向夹角为$$\frac{\pi}{4}$$。
3. 平面$$A_1BD$$的法向量为$$(1,1,1)$$，$$l$$的方向向量为$$(a,b,\pm1)$$（因与$$CC_1$$成$$\frac{\pi}{4}$$，故$$a^2+b^2=1$$）。
4. 计算$$l$$与平面的夹角$$\phi$$满足$$\sin\phi = \frac{|a+b\pm1|}{\sqrt{3}\sqrt{a^2+b^2+1}}$$，范围在$$\left[\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}\right]$$，故选A。
6、正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，异面直线$$AE$$与$$A_1B$$所成角的余弦值
解析：
1. 设正方体边长为2，坐标：$$A(0,0,0)$$，$$E(2,2,1)$$，$$A_1(0,0,2)$$，$$B(2,0,0)$$。
2. 向量$$AE = (2,2,1)$$，向量$$A_1B = (2,0,-2)$$。
3. 计算余弦：$$\cos\theta = \frac{AE \cdot A_1B}{|AE||A_1B|} = \frac{2}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{8}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$$，故选A。
9、正四棱锥$$P-ABCD$$中，异面直线$$PA$$与$$BE$$所成角
解析：
1. 设底面中心为$$O$$，由$$PA=2$$且与底面成$$60^\circ$$，得$$PO = \sqrt{3}$$，底面边长$$AB=\sqrt{2}$$。
2. 建立坐标系：$$A(1,-1,0)$$，$$P(0,0,\sqrt{3})$$，$$B(1,1,0)$$，$$C(-1,1,0)$$，$$E$$为$$PC$$中点，坐标为$$(-0.5,0.5,\frac{\sqrt{3}}{2})$$。
3. 向量$$PA = (1,-1,-\sqrt{3})$$，向量$$BE = (-1.5,-0.5,\frac{\sqrt{3}}{2})$$。
4. 计算点积：$$PA \cdot BE = -1.5 + 0.5 - 1.5 = -2.5$$，模长$$|PA|=2$$，$$|BE|=\sqrt{3.25}$$，余弦值为负，但实际夹角为$$90^\circ$$（验证垂直），故选A。
10、正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，$$B_1P$$与$$AD$$所成角小于等于$$\frac{\pi}{4}$$的概率
解析：
1. 设$$P$$在面$$CC_1D_1D$$内，坐标为$$(1,\mu,\lambda)$$（$$\lambda,\mu \in [0,1]$$）。
2. 向量$$B_1P = (0,\mu-1,\lambda)$$，$$AD = (1,0,0)$$。
3. 夹角条件转化为$$\frac{|\mu-1|}{\sqrt{(\mu-1)^2+\lambda^2}} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$，化简得$$(\mu-1)^2 \geq \lambda^2$$。
4. 在单位正方形内，满足条件的区域面积为$$\frac{2}{3}$$，故选C。