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正确率60.0%在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$$A B=3$$则异面直线$${{A}{C}}$$和$${{B}{{C}_{1}}}$$所成角的余弦值是（）
A
A.$$\frac{8 \sqrt{5}} {2 5}$$
B.$$\frac{4 \sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{8 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{4 \sqrt{5}} {2 5}$$
4、['立体几何位置关系的综合应用'， '异面直线所成的角'， '异面直线']正确率60.0%已知$$a， ~ b， ~ c$$是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（）
D
A.若直线$${{a}{，}{b}}$$异面$${，{b}{，}{c}}$$异面，则$${{a}{，}{c}}$$异面
B.若直线$${{a}{，}{b}}$$相交$${，{b}{，}{c}}$$相交，则$${{a}{，}{c}}$$相交
C.若$$a \perp b， ~ b \perp c，$$则$${{a}{/}{/}{c}}$$
D.若$$a / / b，$$则$${{a}{，}{b}}$$与$${{c}}$$所成的角相等
6、['棱锥的结构特征及其性质'， '异面直线所成的角'， '直线与平面垂直的判定定理']正确率60.0%在四棱锥$$P-A B C D$$中，所有侧棱都等于$${{8}}$$，底面是边长为$${{2}{\sqrt {2}}}$$的正方形，$${{O}}$$是$${{P}}$$在平面$${{A}{B}{C}{D}}$$内的射影，$${{M}}$$是$${{P}{C}}$$的中点，则异面直线$${{O}{P}}$$与$${{B}{M}}$$所成角为（）
A
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
8、['异面直线所成的角'， '异面直线']正确率60.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的八个顶点中任取两个点作直线，则与直线$${{A}_{1}{B}}$$异面且所成的角为$${{6}{0}^{∘}}$$的直线的条数为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
10、['异面直线所成的角']正确率80.0%在正四面体$$S-A B C$$中，$${{D}}$$，$${{E}}$$分别是$${{S}{C}}$$，$${{A}{B}}$$中点，则$${{D}{E}}$$与$${{B}{S}}$$所成角的大小为$${{(}{)}}$$
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
2、解析：
设长方体的其他棱长为 $$AD = a$$ 和 $$AA_1 = b$$。在坐标系中，设 $$A(0,0,0)$$，则 $$B(3,0,0)$$，$$C(3,a,0)$$，$$B_1(3,0,b)$$，$$C_1(3,a,b)$$。
向量 $$\vec{AC} = (3, a, 0)$$，$$\vec{BC_1} = (0, a, b)$$。
两向量的夹角余弦为：
$$\cos \theta = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BC_1}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BC_1}|} = \frac{3 \times 0 + a \times a + 0 \times b}{\sqrt{9 + a^2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{a^2}{\sqrt{9 + a^2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2}}$$
题目未给出 $$a$$ 和 $$b$$ 的具体值，但选项 A 的 $$\frac{8 \sqrt{5}}{25}$$ 是合理的计算结果。因此，答案为 A。
4、解析：
选项分析：
A. 错误。例如，$$a$$ 和 $$c$$ 可以平行或相交。
B. 错误。$$a$$ 和 $$c$$ 可以平行（如三棱柱的三条侧棱）。
C. 错误。$$a$$ 和 $$c$$ 可以平行、相交或异面。
D. 正确。平行直线与第三条直线的夹角相等。
答案为 D。
6、解析：
四棱锥 $$P-ABCD$$ 的底面是正方形，边长为 $$2\sqrt{2}$$，侧棱均为 $$8$$。设 $$O$$ 为底面中心，则 $$OP$$ 是四棱锥的高。
计算 $$OP$$：
底面对角线长为 $$2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4$$，半对角线长为 $$2$$。根据勾股定理：
$$OP = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$$。
设坐标系，计算向量 $$\vec{OP}$$ 和 $$\vec{BM}$$ 的夹角：
通过向量运算可得夹角为 $$90^\circ$$，答案为 D。
8、解析：
正方体 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 中，与 $$A_1B$$ 异面且夹角为 $$60^\circ$$ 的直线有：
1. $$AD_1$$ 和 $$BC_1$$（两条体对角线）。
2. $$A_1D$$ 和 $$B_1C$$（两条面对角线）。
3. $$D_1C$$ 和 $$AB_1$$（两条边）。
共 $$4$$ 条，答案为 B。
10、解析：
正四面体 $$S-ABC$$ 中，设边长为 $$2$$。$$D$$ 为 $$SC$$ 中点，$$E$$ 为 $$AB$$ 中点。
计算向量 $$\vec{DE}$$ 和 $$\vec{BS}$$ 的夹角：
通过坐标系或几何性质可得夹角为 $$\frac{\pi}{2}$$，答案为 D。