.jpg)
正确率60.0%关于直线$${{m}{，}{n}}$$与平面$${{α}{，}{β}{，}}$$有下列四个命题：
$$\oplus m / / \alpha， ~ n / \! / \beta$$且$$\alpha/ / \beta，$$则$${{m}{/}{/}{n}}$$；
$$\) m \perp\alpha， \， \， n \perp\beta$$且$${{α}{⊥}{β}{，}}$$则$${{m}{⊥}{n}}$$；
$$\odot m \perp\alpha， \; n / \! / \beta$$且$$\alpha/ / \beta，$$则$${{m}{⊥}{n}}$$；
$$\oplus m / / \alpha， \， \， n \perp\beta$$且$${{α}{⊥}{β}{，}}$$则$${{m}{/}{/}{n}}$$．
其中真命题的序号是$${{(}{)}}$$
D
A.$${①{②}}$$
B.$${③{④}}$$
C.$${①{④}}$$
D.$${②{③}}$$
2、['余弦定理及其应用'， '棱柱的结构特征及其性质'， '异面直线垂直'， '异面直线所成的角'， '二面角'， '直线与平面垂直的判定定理'， '直线与平面平行的判定定理'， '立体几何中的轨迹问题']正确率19.999999999999996%已知棱长为$${{1}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$，点$${{P}}$$是四边形$${{B}{{B}_{1}}{{D}_{1}}{D}}$$内(含边界)任意一点，$${{Q}}$$是$${{B}_{1}{{C}_{1}}}$$中点，有下列四个结论：
$$\oplus\overrightarrow{A C} \cdot\overrightarrow{B P}=0 ; \ \textcircled{}$$当$${{P}}$$点为$${{B}_{1}{{D}_{1}}}$$中点时，二面角$$P-A D-C$$的余弦值$$\frac{1} {2} ; ~ \oplus A Q$$与$${{B}{C}}$$所成角的正切值为$${{2}{\sqrt {2}}{；}{④}}$$当$$C Q \bot A P$$时，点$${{P}}$$的轨迹长为$$\frac{3} {2}.$$
其中所有正确的结论序号是（）
B
A.$${①{②}{③}}$$
B.$${①{③}{④}}$$
C.$${②{③}{④}}$$
D.$${①{②}{④}}$$
4、['异面直线垂直']正确率40.0%在平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中$$， \， \， A B > A D，$$将$${{△}{A}{B}{D}}$$沿着$${{B}{D}}$$所在直线翻折至$$\triangle A^{\prime} B D，$$则下列直线中有可能与直线$${{A}^{′}{B}}$$垂直的是
①直线$${{B}{C}}$$；②直线$${{C}{D}}$$；③直线$${{B}{D}}$$；④直线$${{A}^{′}{C}}$$.（）
A
A.①②
B.①④
C.②③
D.③④
5、['异面直线垂直'， '直线与平面垂直的定义'， '直线与平面垂直的判定定理']正确率60.0%在三棱锥$$P-A B C$$中，已知$$P A=A B=A C，$$$$\angle B A C=\angle P A C，$$点$${{D}{，}{E}}$$分别为棱$$B C， \ P C$$的中点，则下列结论正确的是（）
D
A.$$D E \perp A D$$
B.$$D E \perp P A$$
C.$$D E \perp A B$$
D.$$D E \perp A C$$
9、['异面直线垂直'， '异面直线所成的角']正确率40.0%在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$A B=B C=2， \， \， \， A A_{1}=2 \sqrt{3}$$，则异面直线$${{A}{{D}_{1}}}$$与$${{D}{{B}_{1}}}$$所成角的余弦值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {6}$$
C.$$\frac{1} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
10、['空间中直线与直线的位置关系'， '异面直线垂直'， '异面直线所成的角'， '直线与平面垂直的定义'， '直线与平面垂直的判定定理'， '直线与平面平行的判定定理']正确率40.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，下列结论错误的是（）
D
A.$${{A}{C}{/}{/}}$$平面$${{A}_{1}{B}{{C}_{1}}}$$
B.$${{B}{{C}_{1}}{⊥}}$$平面$$A_{1} B_{1} C D$$
C.$$A D_{1} \perp B_{1} C$$
D.异面直线$${{C}{{D}_{1}}}$$与$${{B}{{C}_{1}}}$$所成的角是$${{4}{5}^{∘}}$$
1. 关于直线与平面的命题解析：
① 错误。当 $$m \parallel \alpha$$，$$n \parallel \beta$$，且 $$\alpha \parallel \beta$$ 时，$$m$$ 和 $$n$$ 可能平行，也可能异面。
② 正确。若 $$m \perp \alpha$$，$$n \perp \beta$$，且 $$\alpha \perp \beta$$，则 $$m$$ 和 $$n$$ 的方向向量垂直，故 $$m \perp n$$。
③ 正确。若 $$m \perp \alpha$$，$$n \parallel \beta$$，且 $$\alpha \parallel \beta$$，则 $$n$$ 也与 $$\alpha$$ 平行，故 $$m \perp n$$。
④ 错误。当 $$m \parallel \alpha$$，$$n \perp \beta$$，且 $$\alpha \perp \beta$$ 时，$$m$$ 和 $$n$$ 可能平行，也可能相交或异面。
综上，真命题为②③，故选 D。
2. 正方体内点 $$P$$ 的结论解析：
① 正确。$$\overrightarrow{AC}$$ 为对角线，$$\overrightarrow{BP}$$ 在平面 $$BB_1D_1D$$ 内，二者垂直，故点积为 0。
② 错误。当 $$P$$ 为 $$B_1D_1$$ 中点时，二面角 $$P-AD-C$$ 的余弦值为 $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$，非 $$\frac{1}{2}$$。
③ 正确。$$AQ$$ 与 $$BC$$ 所成角的正切值为 $$2\sqrt{2}$$。
④ 正确。当 $$CQ \perp AP$$ 时，$$P$$ 的轨迹为线段，长度为 $$\frac{3}{2}$$。
综上，正确结论为①③④，故选 B。
4. 平行四边形翻折后直线垂直的可能性解析：
① 可能。翻折后 $$A'B$$ 可能与 $$BC$$ 垂直。
② 可能。$$A'B$$ 可能与 $$CD$$ 垂直。
③ 不可能。$$A'B$$ 与 $$BD$$ 共面，除非 $$A'B \perp BD$$，但题目未给出此条件。
④ 可能。$$A'B$$ 可能与 $$A'C$$ 垂直。
综上，可能垂直的是①②④，但选项中最接近的是 B（①④），因②未包含在选项中。
5. 三棱锥中 $$DE$$ 的垂直关系解析：
由题意，$$PA = AB = AC$$，且 $$\angle BAC = \angle PAC$$，可证 $$DE \parallel PB$$，且 $$PB \perp AC$$，故 $$DE \perp AC$$。
其他选项不一定成立，故选 D。
9. 长方体异面直线所成角的余弦值解析：
建立坐标系，设 $$A(0,0,0)$$，$$D_1(2,0,2\sqrt{3})$$，$$D(2,0,0)$$，$$B_1(0,2,2\sqrt{3})$$。
向量 $$\overrightarrow{AD_1} = (2,0,2\sqrt{3})$$，$$\overrightarrow{DB_1} = (-2,2,2\sqrt{3})$$。
余弦值计算为 $$\frac{\overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{DB_1}}{|\overrightarrow{AD_1}| \cdot |\overrightarrow{DB_1}|} = \frac{-4 + 12}{\sqrt{16} \cdot \sqrt{20}} = \frac{8}{8\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$。
故选 A。
10. 正方体中错误结论的解析：
A. 正确。$$AC$$ 平行于平面 $$A_1BC_1$$。
B. 正确。$$BC_1$$ 垂直于平面 $$A_1B_1CD$$。
C. 正确。$$AD_1 \perp B_1C$$。
D. 错误。异面直线 $$CD_1$$ 与 $$BC_1$$ 所成角为 $$60^\circ$$，非 $$45^\circ$$。
故选 D。