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正确率40.0%在长方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中$${，{{B}_{1}}{C}{，}{{C}_{1}}{D}}$$与底面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成的角分别为$${{6}{0}^{∘}{，}{{4}{5}^{∘}}{，}}$$则异面直线$${{B}_{1}{C}}$$和$${{C}_{1}{D}}$$所成角的余弦值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{6}} {4}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt{2}} {6}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {6}$$
2、['与球有关的切、接问题'， '球的体积'， '直线与平面所成的角']正确率40.0%已知正四棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}{D}}$$的底面边长为$${{2}{\sqrt {2}}{，}}$$侧棱$${{P}{A}}$$与底面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成的角为$${{4}{5}^{∘}{，}}$$顶点$${{P}{，}{A}{，}{B}{，}{C}{，}{D}}$$在球$${{O}}$$的球面上，则球$${{O}}$$的体积是（）
B
A.$${{1}{6}{π}}$$
B.$$\frac{3 2} {3} \pi$$
C.$${{8}{π}}$$
D.$$\frac{8 \sqrt{2}} {3} \pi$$
3、['与球有关的切、接问题'， '棱柱、棱锥、棱台的体积'， '直线与平面所成的角']正确率40.0%在三棱锥$${{A}{−}{B}{C}{D}}$$中$${，{△}{A}{B}{D}}$$和$${{△}{B}{C}{D}}$$是有公共斜边的等腰直角三角形，若三棱锥$${{A}{−}{B}{C}{D}}$$的外接球的半径为$${{2}{，}}$$球心为$${{O}{，}}$$且三棱锥$${{A}{−}{B}{C}{D}}$$的体积为$$\frac{4 \sqrt{3}} {3}，$$则直线$${{O}{A}}$$与平面$${{B}{C}{D}}$$所成角的正弦值是（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
4、['棱柱的结构特征及其性质'， '立体几何中的截面、交线问题'， '直线与平面所成的角']正确率40.0%已知正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$，过顶点$${{A}_{1}}$$作平面$${{α}{，}}$$使得直线$${{A}{C}}$$和$${{B}{{C}_{1}}}$$与平面$${{α}}$$所成的角都为$${{6}{0}{°}}$$，这样的平面$${{α}}$$可以有（）
B
A.$${{4}}$$个
B.$${{3}}$$个
C.$${{2}}$$个
D.$${{1}}$$个
7、['直线与平面所成的角']正确率19.999999999999996%在正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$${{E}{、}{F}}$$分别为线段$${{A}_{1}{{D}_{1}}{、}{B}{C}}$$上的动点，设直线$${{E}{F}}$$与平面$${{A}{C}{、}}$$平面$${{B}{{C}_{1}}}$$所成角分别是$${{θ}{、}{φ}{，}}$$则（）
C
A.$$\theta> \varphi， ~ ~ ( \operatorname{t a n} \theta)_{~ m i n}=\frac{\sqrt{2}} {2}$$
B.$$\theta=\varphi， \， \， \theta_{m a x}=4 5^{\circ}$$
C.$$\theta< \varphi， ~ \theta_{m a x}=4 5^{\circ}$$
D.$$\theta=\varphi， \， \， \theta_{m i n}=4 5^{\circ}$$
8、['二面角'， '直线与平面所成的角']正确率60.0%若二面角$${{a}{−}{1}{−}{β}}$$为$$\frac{2 \pi} {3}，$$直线$${{m}{⊥}{a}}$$，则$${{β}}$$所在平面内的直线与$${{m}}$$所成角的取值范围是（）
D
A.$${{(}{0}}$$，$$\lfloor\frac{\pi} {2} \rfloor$$
B.$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {3} ]$$
C.$$[ \frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {2} ]$$
D.$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {2} ]$$
9、['直线与平面所成的角']正确率80.0%过平面$${{α}}$$外一点$${{A}}$$引线段$${{A}{B}}$$，$${{A}{C}}$$以及垂段$${{A}{O}}$$，若$${{A}{B}}$$与$${{α}}$$所成角是$${{3}{0}{°}}$$，$${{A}{O}{=}{6}}$$，$${{A}{C}{⊥}{B}{C}}$$，则线段$${{B}{C}}$$长的范围是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{(}{0}{，}{6}{)}}$$
B.$${{(}{6}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{6}{\sqrt {3}}{)}}$$
D.$${{(}{6}{\sqrt {3}}{，}{+}{∞}{)}}$$
1. 设长方体的高为$$h$$，由题意可得：
$${B_1C}$$与底面所成角为$$60^\circ$$，则$$\frac{h}{B_1C} = \sin 60^\circ \Rightarrow B_1C = \frac{2h}{\sqrt{3}}$$。
$${C_1D}$$与底面所成角为$$45^\circ$$，则$$\frac{h}{C_1D} = \sin 45^\circ \Rightarrow C_1D = h\sqrt{2}$$。
设底面长方形的长为$$a$$，宽为$$b$$，则$$B_1C = \sqrt{a^2 + h^2} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$$，解得$$a = \frac{h}{\sqrt{3}}$$。
同理，$$C_1D = \sqrt{b^2 + h^2} = h\sqrt{2}$$，解得$$b = h$$。
将$$B_1C$$和$$C_1D$$平移至同一顶点，利用向量点积公式计算夹角余弦：
$$\cos \theta = \frac{a \cdot b + h^2}{|B_1C| \cdot |C_1D|} = \frac{\frac{h^2}{\sqrt{3}} + h^2}{\frac{2h}{\sqrt{3}} \cdot h\sqrt{2}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$$。
故选$$A$$。
2. 正四棱锥$$P-ABCD$$的底面边长为$$2\sqrt{2}$$，侧棱$$PA$$与底面成$$45^\circ$$角，则高$$PO = PA \sin 45^\circ = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$$。
底面中心到顶点的距离为$$\frac{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2} = 2$$。
外接球半径$$R$$满足$$R^2 = PO^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$$，故$$R = 2\sqrt{2}$$。
球的体积为$$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{32\sqrt{2}}{3}\pi$$。
故选$$D$$。
3. 设公共斜边$$BD = 2r$$，则外接球半径$$R = 2$$，故$$BD = 4$$。
三棱锥体积为$$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$，设$$A$$到平面$$BCD$$的距离为$$h$$，则$$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 4 \times 2 \times h = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$，解得$$h = \sqrt{3}$$。
球心$$O$$到平面$$BCD$$的距离$$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{4 - 4} = 0$$，即$$O$$在平面$$BCD$$内。
直线$$OA$$与平面$$BCD$$的夹角正弦值为$$\frac{h}{OA} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
故选$$D$$。
4. 设正方体边长为1，建立坐标系。平面$$\alpha$$需满足与$$AC$$和$$BC_1$$成$$60^\circ$$角。
通过计算法向量的夹角，可得存在4个平面满足条件。
故选$$A$$。
7. 设正方体边长为1，建立坐标系。$$EF$$与平面$$AC$$和平面$$BC_1$$的夹角相等，即$$\theta = \varphi$$。
当$$E$$和$$F$$分别运动到$$A_1D_1$$和$$BC$$的中点时，$$\theta$$取得最大值$$45^\circ$$。
故选$$B$$。
8. 二面角为$$\frac{2\pi}{3}$$，直线$$m \perp \alpha$$，则$$m$$与$$\beta$$的夹角为$$\frac{\pi}{6}$$。
$$\beta$$内直线与$$m$$的夹角范围为$$[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$$。
故选$$D$$。
9. 设$$AO = 6$$，$$AB$$与平面$$\alpha$$成$$30^\circ$$角，则$$AB = 12$$。
$$AC \perp BC$$，故$$BC$$为$$AB$$在平面$$\alpha$$上的投影与$$AC$$的垂直距离。
$$BC$$的最小值为$$AO \cot 30^\circ = 6\sqrt{3}$$，无上限。
故选$$D$$。