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正确率40.0%关于不同的直线$${{m}{，}{n}}$$与不同的平面$${{α}{，}{β}{，}}$$有下列四个命题：
$$\oplus m \perp\alpha， \， n \perp\beta$$，且$${{α}{⊥}{β}{，}}$$则$${{m}{⊥}{n}}$$
$$\odot m / / \alpha， ~ n / \! / \beta$$，且$$\alpha/ / \beta，$$则$${{m}{/}{/}{n}}$$
$$\odot m \perp\alpha， \; n / \! / \beta$$，且$$\alpha/ / \beta，$$则$${{m}{⊥}{n}}$$
$$\oplus m / / \alpha， \， \， n \perp\beta$$，且$${{α}{⊥}{β}{，}}$$则$${{m}{/}{/}{n}}$$
其中正确的命题的序号是（）
C
A.$${①{②}}$$
B.$${②{③}}$$
C.$${①{③}}$$
D.$${③{④}}$$
2、['空间中直线与直线的位置关系'， '三角形的“四心”'， '直线与平面垂直的性质定理']正确率60.0%已知点$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面外一点，点$${{O}}$$是点$${{P}}$$在平面$${{A}{B}{C}}$$上的射影，在下列条件下：$${{P}}$$到$${{△}{A}{B}{C}}$$三个顶点距离相等；$${{P}}$$到$${{△}{A}{B}{C}}$$三边距离相等；$$A P_{\cdot} \， \ B P_{\cdot} \， \ C P$$两两互相垂直，点$${{O}}$$分别是$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
B
A.垂心，外心，内心
B.外心，内心，垂心
C.内心，外心，垂心
D.内心，垂心，外心
3、['点到平面的距离'， '三角形的面积（公式）'， '直线与平面垂直的性质定理']正确率40.0%三棱锥$$S \mathrm{-} \， A B C$$中，$${{S}{A}{⊥}}$$底面$$A B C， ~ A B \perp A C$$.若$$S A=A B=A C=1$$，则点$${{A}}$$到平面$${{S}{B}{C}}$$的距离为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\sqrt2} 3$$
4、['直线与平面垂直的性质定理']正确率80.0%空间中两条不同的直线$${{m}}$$，$${{n}}$$和平面$${{α}}$$，则下列命题中正确的是（）
A
A.若$${{m}{⊥}{α}}$$，$${{n}{⊥}{α}}$$，则$${{m}{/}{/}{n}}$$
B.若$${{m}{/}{/}{α}}$$，$${{n}{/}{/}{α}}$$，则$${{m}{/}{/}{n}}$$
C.若$${{m}{⊥}{n}}$$，$${{n}{⊥}{α}}$$，则$${{m}{⊥}{α}}$$
D.若$${{m}{⊥}{n}}$$，$${{n}{/}{/}{α}}$$，则$${{m}{⊥}{α}}$$
6、['空间中直线与直线的位置关系'， '直线与平面垂直的性质定理'， '平面与平面垂直的性质定理'， '直线与平面平行的判定定理'， '直线与平面平行的性质定理']正确率60.0%已知$${{m}{，}{n}}$$为两条不同的直线，$${{α}{，}{β}}$$为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
C
A.若$$m \perp n， n \perp$$
B.若$$m / / \alpha， n / \! / \alpha$$
C.若$$m \perp\alpha， n \perp$$
D.若$$\alpha\perp\beta， n / / \beta， \mathbb{T} n / \! / \alpha$$
8、['异面直线'， '直线与平面垂直的性质定理']正确率60.0%菱形$${{A}{B}{C}{D}}$$在平面$${{α}}$$内，$${{P}{C}{⊥}{α}}$$，则$${{P}{A}}$$与对角线$${{B}{D}}$$的位置关系是（）
D
A.异面垂直
B.相交但不垂直
C.垂直相交
D.平行
9、['异面直线所成的角'， '直线与平面垂直的性质定理']正确率40.0%在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{M}{、}{N}}$$分别是棱$$B B_{1}， ~ B_{1} C_{1}$$的中点，若$$\angle C M N=9 0^{\circ}$$，则异面直线$${{A}{{D}_{1}}}$$和$${{D}{M}}$$所成角为（）
C
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{9}{0}^{∘}}$$
D.$${{6}{0}^{∘}}$$
1. 解析：
对于命题②，若$$m \parallel \alpha$$且$$n \parallel \beta$$，且$$\alpha \parallel \beta$$，则$$m$$和$$n$$可能平行也可能异面，因此②不一定正确。
对于命题③，若$$m \perp \alpha$$且$$n \parallel \beta$$，且$$\alpha \parallel \beta$$，则$$m \perp n$$，因为$$n$$平行于$$\beta$$，而$$\alpha \parallel \beta$$，所以$$m$$垂直于$$n$$。因此③正确。
对于命题④，若$$m \parallel \alpha$$且$$n \perp \beta$$，且$$\alpha \perp \beta$$，则$$m$$和$$n$$可能平行也可能垂直，因此④不一定正确。
综上，只有③正确，但选项中无单独③的答案，最接近的是D选项（③④），但④不正确，因此题目可能有误或选项不完整。
2. 解析：
- 若$$P$$到三边距离相等，则$$O$$是三角形$$ABC$$的内心（因为$$O$$是内切圆的圆心）。
- 若$$AP$$、$$BP$$、$$CP$$两两垂直，则$$O$$是三角形$$ABC$$的垂心（因为$$AP$$、$$BP$$、$$CP$$是高线）。
因此，正确答案是B（外心、内心、垂心）。
3. 解析：
平面$$SBC$$的法向量可以通过向量$$\overrightarrow{SB}=(1,0,-1)$$和$$\overrightarrow{SC}=(0,1,-1)$$的叉积得到，即$$\overrightarrow{n}=(1,1,1)$$。
点$$A$$到平面$$SBC$$的距离公式为： $$d = \frac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{SA}|}{|\overrightarrow{n}|} = \frac{|0+0+0|}{\sqrt{3}} = 0$$，但$$A$$在平面上，距离为0，与选项不符。重新计算：
平面$$SBC$$的方程为$$x+y+z-1=0$$，点$$A(0,0,0)$$到平面的距离为$$\frac{|0+0+0-1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，因此正确答案是B。
4. 解析：
- B选项：若$$m \parallel \alpha$$且$$n \parallel \alpha$$，$$m$$和$$n$$可能平行也可能异面，错误。
- C选项：若$$m \perp n$$且$$n \perp \alpha$$，$$m$$可能在$$\alpha$$内或与$$\alpha$$平行，不一定垂直，错误。
- D选项：若$$m \perp n$$且$$n \parallel \alpha$$，$$m$$可能与$$\alpha$$垂直或斜交，错误。
因此，正确答案是A。
6. 解析：
8. 解析：
因为$$PC \perp \alpha$$，$$PA$$在空间中斜向平面$$\alpha$$，而$$BD$$在平面$$\alpha$$内。由于$$ABCD$$是菱形，$$BD$$是其对角线，$$PA$$与$$BD$$不在同一平面内且不平行，因此是异面直线。又因为$$PC \perp BD$$（$$PC$$垂直于平面$$\alpha$$），且$$AC \perp BD$$（菱形对角线垂直），所以$$PA$$在空间中可以与$$BD$$垂直。因此正确答案是A（异面垂直）。
9. 解析：
若$$\angle CMN=90^\circ$$，则向量$$\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{MN}=0$$。计算得： $$\overrightarrow{CM}=(a, b/2, -c/2)$$，$$\overrightarrow{MN}=(0, b/2, c/2)$$，点积为$$0 \cdot a + (b/2)(b/2) + (-c/2)(c/2) = \frac{b^2}{4} - \frac{c^2}{4} = 0$$，即$$b=c$$。
求异面直线$$AD_1$$和$$DM$$的夹角：
$$\overrightarrow{AD_1}=(0,b,c)$$，$$\overrightarrow{DM}=(a,b/2,-c/2)$$，点积为$$0 \cdot a + b \cdot (b/2) + c \cdot (-c/2) = \frac{b^2}{2} - \frac{c^2}{2} = 0$$（因为$$b=c$$），所以夹角为$$90^\circ$$。因此正确答案是C。