异面直线垂直-空间直线、平面的垂直知识点课后基础选择题自测题解析-云南省等高二数学必修,平均正确率78.0%

1、['棱锥的结构特征及其性质'， '三垂线定理及其逆定理'， '异面直线垂直'， '三角形的“四心”'， '直线与平面垂直的判定定理'， '直线与平面垂直的性质定理']

正确率40.0%已知三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$，过点$${{P}}$$作$${{P}{O}{⊥}}$$面$${{A}{B}{C}{，}{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$中的一点，且$${{P}{A}{⊥}{P}{B}{，}{P}{B}{⊥}{P}{C}{，}{P}{C}{⊥}{P}{A}}$$，则点$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的$${{(}{)}}$$

A.内心

B.外心

C.重心

D.垂心

2、['异面直线垂直'， '直线与平面垂直的判定定理']

正确率60.0%在正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中$${，{O}}$$为正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$的中心$${，{P}}$$为$${{A}{{A}_{1}}}$$的中点，则直线$${{P}{O}}$$与$${{A}{{D}_{1}}}$$所成的角为（）

A.$$\frac{\pi} {2}$$

B.$$\frac{\pi} {3}$$

C.$$\frac{\pi} {4}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

6、['基本事实4'， '异面直线垂直'， '命题的真假性判断'， '平面与平面平行的判定定理']

正确率60.0%设$${{a}{，}{b}}$$为两条直线，$${{α}{，}{β}}$$为两个平面，则下列命题正确的是$${{(}{)}}$$

A.若 $${{a}{，}{b}}$$与$${{α}}$$所成的角相等，则$${{a}{/}{/}{b}}$$

B.若$${{a}{/}{/}{α}{，}{b}{/}{/}{β}{，}{α}{/}{/}{β}}$$，则$${{a}{/}{/}{b}}$$

C.若$${{a}{⊂}{α}{，}{b}{⊂}{β}{，}{a}{/}{/}{b}}$$，则$${{α}{/}{/}{β}}$$

D.若$${{a}{⊥}{α}{，}{b}{⊥}{β}{，}{α}{⊥}{β}}$$，则$${{a}{⊥}{b}}$$

7、['异面直线垂直'， '平面与平面垂直的判定定理'， '直线与平面垂直的判定定理'， '平面与平面垂直的性质定理'， '命题的真假性判断']

正确率60.0%已知$${{m}{，}{n}}$$表示两条不同的直线，$${{α}{，}{β}{，}{γ}}$$表示三个不同的平面，给出下列四个命题：
$${①{α}{∩}{β}{=}{m}{，}{n}{⊂}{α}{，}{n}{⊥}{m}}$$，则$${{α}{⊥}{β}{；}{②}{α}{⊥}{β}{，}{α}{∩}{γ}{=}{m}{，}{β}{∩}{γ}{=}{n}{，}}$$则$${{m}{⊥}{n}}$$；
$${③{α}{⊥}{β}{，}{α}{⊥}{γ}{，}{β}{∩}{γ}{=}{m}}$$，则$${{m}{⊥}{α}{；}{④}{m}{⊥}{α}{，}{n}{⊥}{β}{，}{m}{⊥}{n}}$$，则$${{α}{⊥}{β}}$$其中正确命题的序号为$${{(}{)}}$$

A.$${①{②}}$$

B.$${②{③}}$$

C.$${③{④}}$$

D.$${②{④}}$$

9、['异面直线垂直'， '平面与平面垂直的判定定理'， '直线与平面平行的判定定理']

正确率60.0%已知$${{m}{，}{l}}$$是直线，$${{α}{，}{β}}$$是平面，给出下列命题
$${①}$$若$${{l}{⊥}{α}{，}{m}{/}{/}{α}}$$，则$${{l}{⊥}{m}{；}{②}}$$若$${{m}{/}{/}{l}{，}{m}{⊂}{α}}$$则$${{l}{/}{/}{α}}$$；
$${③}$$若$${{α}{⊥}{β}{，}{m}{⊂}{α}{，}{l}{⊂}{β}}$$则$${{m}{⊥}{l}{；}{④}}$$若$${{m}{⊥}{l}{，}{m}{⊂}{α}{，}{l}{⊂}{β}}$$，则$${{α}{⊥}{β}{；}}$$
其中正确命题的个数是$${{(}{)}}$$

A.$${{4}}$$个

B.$${{3}}$$个

C.$${{2}}$$个

D.$${{1}}$$个

1. 解析：

由题意，$$PO \perp$$平面$$ABC$$，且$$PA \perp PB$$，$$PB \perp PC$$，$$PC \perp PA$$。因为$$PO$$垂直于平面$$ABC$$，所以$$PO$$垂直于$$AB$$、$$BC$$、$$CA$$。结合三垂线定理，$$PA \perp PB$$推出$$OA \perp PB$$，又因为$$PO \perp PB$$，所以$$PB \perp$$平面$$POA$$，从而$$PB \perp OA$$。同理可得$$PC \perp OB$$和$$PA \perp OC$$。因此，$$O$$是$$△ABC$$的三条高的交点，即垂心。答案为$$D$$。

2. 解析：

设正方体边长为2，建立坐标系，设$$A(0,0,0)$$，$$D(2,0,0)$$，$$A_1(0,0,2)$$，$$D_1(2,0,2)$$，$$O(1,1,0)$$，$$P$$为$$AA_1$$中点，故$$P(0,0,1)$$。向量$$\vec{PO} = (1,1,-1)$$，向量$$\vec{AD_1} = (2,0,2)$$。两向量夹角$$\theta$$满足$$\cos \theta = \frac{\vec{PO} \cdot \vec{AD_1}}{|\vec{PO}| \cdot |\vec{AD_1}|} = \frac{0}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{8}} = 0$$，故$$\theta = \frac{\pi}{2}$$。答案为$$A$$。

6. 解析：

选项$$A$$错误，两条直线与同一平面成等角不一定平行（可能相交或异面）。选项$$B$$错误，平行于两个平行平面的直线不一定平行（可能相交或异面）。选项$$C$$错误，两个平面内的平行线不一定使两平面平行（可能相交）。选项$$D$$正确，若$$a \perp \alpha$$且$$\alpha \perp \beta$$，则$$a$$平行于$$\beta$$或在$$\beta$$内；又$$b \perp \beta$$，故$$a \perp b$$。答案为$$D$$。

7. 解析：

命题$$①$$错误，$$n \perp m$$不能推出$$\alpha \perp \beta$$（需$$n \perp \beta$$）。命题$$②$$错误，$$\alpha \perp \beta$$且$$\alpha \cap \gamma = m$$，$$\beta \cap \gamma = n$$时，$$m$$与$$n$$不一定垂直。命题$$③$$正确，由面面垂直的性质定理可知$$m \perp \alpha$$。命题$$④$$正确，$$m \perp \alpha$$且$$m \perp n$$可推出$$n \parallel \alpha$$或$$n \subset \alpha$$，结合$$n \perp \beta$$得$$\alpha \perp \beta$$。答案为$$C$$。

9. 解析：

命题$$①$$正确，若$$l \perp \alpha$$且$$m \parallel \alpha$$，则$$l \perp m$$。命题$$②$$错误，$$m \parallel l$$且$$m \subset \alpha$$不能推出$$l \parallel \alpha$$（可能$$l \subset \alpha$$）。命题$$③$$错误，$$\alpha \perp \beta$$时，$$m \subset \alpha$$与$$l \subset \beta$$不一定垂直。命题$$④$$错误，$$m \perp l$$不能推出$$\alpha \perp \beta$$。故仅$$1$$个命题正确，答案为$$D$$。

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