异面直线所成的角-8.6 空间直线、平面的垂直知识点回顾基础自测题答案-西藏自治区等高二数学必修,平均正确率96.0%

1. **建立坐标系简化问题**： 设两条异面直线 $$a$$ 和 $$b$$ 所成的角为 $$60^\circ$$。为简化分析，将点 $$O$$ 设为 $$a$$ 和 $$b$$ 的公垂线的中点，建立坐标系使： - 直线 $$a$$ 沿 $$x$$ 轴方向，其方向向量为 $$\mathbf{u} = (1, 0, 0)$$。 - 直线 $$b$$ 在 $$x-y$$ 平面内，与 $$x$$ 轴成 $$60^\circ$$，其方向向量为 $$\mathbf{v} = (\cos 60^\circ, \sin 60^\circ, 0) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$$。 - 设公垂线为 $$z$$ 轴，两条直线与 $$z$$ 轴的距离均为 $$d$$（具体值不影响结果）。

2. **设定待求直线的方向向量**： 设过点 $$O$$ 的直线方向向量为 $$\mathbf{w} = (x, y, z)$$，满足 $$|\mathbf{w}| = 1$$。根据题意，$$\mathbf{w}$$ 与 $$\mathbf{u}$$ 和 $$\mathbf{v}$$ 的夹角均为 $$60^\circ$$，即： \[ \cos 60^\circ = \frac{\mathbf{w} \cdot \mathbf{u}}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|} = x \implies x = \frac{1}{2}, \] \[ \cos 60^\circ = \frac{\mathbf{w} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{w}||\mathbf{v}|} = \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y \implies \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}y \implies y = \frac{\sqrt{3}}{6}. \] 由于 $$x^2 + y^2 + z^2 = 1$$，代入已知 $$x$$ 和 $$y$$ 得： \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2 + z^2 = 1 \implies \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + z^2 = 1 \implies z^2 = \frac{2}{3} \implies z = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}. \] 因此，$$\mathbf{w}$$ 有两个解： \[ \mathbf{w}_1 = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right), \quad \mathbf{w}_2 = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, -\frac{\sqrt{6}}{3}\right). \]

3. **考虑对称性**： 上述分析仅考虑了直线 $$b$$ 在 $$x-y$$ 平面的上方（$$y > 0$$）。实际上，直线 $$b$$ 的方向向量也可以取 $$\mathbf{v}' = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$$，对应 $$y < 0$$ 的情况。此时重复步骤 2，会得到另外两个解： \[ \mathbf{w}_3 = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right), \quad \mathbf{w}_4 = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{6}, -\frac{\sqrt{6}}{3}\right). \] 因此，总共有 4 条满足条件的直线。

4. **验证唯一性**： 通过几何对称性可知，对于每一条直线 $$b$$ 的方向（$$y > 0$$ 或 $$y < 0$$），都存在两条对称的直线 $$\mathbf{w}$$ 满足夹角为 $$60^\circ$$。因此总数为 4 条。